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Droites coplanaires

Posté par
314 30-10-18 à 13:38

Bonjour,
Je suis coincé sur une question d'un exercice de géométrie dans l'espace. On nous donne deux droites D1 et D2 d'équations respectives \begin{cases} & \text{ } x+y= 2 \\ & \ y-2z= 3 \end{cases} et \begin{cases} & \text{ } x+y+z= 1 \\ & \ x-2y+3z= a \end{cases}
On cherche à déterminer la valeur du paramètre a pour que les droites soient coplanaires... Je ne sais pas par où commencer, j'ai essayé avec les équations paramétriques sans obtenir de résultats concluants...
Merci de votre aide

Posté par
jsvdbre : Droites coplanaires 30-10-18 à 13:41

Bonjour 314.
Deux droites non coplanaires, ça existe ??

Posté par
314re : Droites coplanaires 30-10-18 à 13:43

Dans l'espace oui.

Posté par
jsvdbre : Droites coplanaires 30-10-18 à 13:50

Désolé, je les voyais sécantes ...

Posté par
jsvdbre : Droites coplanaires 30-10-18 à 13:52

Donc coplanaires équivaut à parallèle ou bien sécantes ...

Posté par
314re : Droites coplanaires 30-10-18 à 13:52

Bonjour,
Non car le but de cet exercice est justement de déterminer la valeur du paramètre tel qu'elles soient coplanaires et donc sécantes

Posté par
314re : Droites coplanaires 30-10-18 à 13:53

Coplanaires signifie qu'elles sont dans un même plan. Deux droites coplanaires sont soit sécantes, soit parallèles.

Posté par
jsvdbre : Droites coplanaires 30-10-18 à 13:55

Oui :
Parallèles : donc calcule leurs vecteurs directeurs
Sécantes : donc calcule leur point d'intersection ...
Le tout en fonction de a.

Posté par
314re : Droites coplanaires 30-10-18 à 13:57

Voilà, je peux déjà certifier qu'elles ne sont pas parallèles. Reste à savoir comment déterminer la valeur de a de sorte à ce qu'elles soient coplanaires et donc sécantes.

Posté par
jsvdbre : Droites coplanaires 30-10-18 à 14:12

tu as x + y = 2 donc x + y + z = 1 donne z = -1

de y -2z = 3 tu tires y = 1

Et donc x = 1

D'où a = 1 - 2 -3=-4

Posté par
314re : Droites coplanaires 30-10-18 à 14:19

Merci, j'ai trouvé aussi, la réponse était sous mes yeux... c'est bête. Merci quand même

Posté par
carpediemre : Droites coplanaires 30-10-18 à 14:22

salut

\left\lbrace\begin{matrix} x + y = 2\\ y - 2z = 3 \end{matrix}\right. \iff \left\lbrace\begin{matrix} x = -1 - 2z\\ y = 3 + 2z \\ z = 0 + z \end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix} x + y + z= 1\\ x - 2y + 3z = a \end{matrix}\right. \iff \left\lbrace\begin{matrix} x + y + z = 1\\ 3y - 2 z= 1 - a \end{matrix}\right. \iff \left\lbrace\begin{matrix} x = - \dfrac 1 3 (2 + a) - \dfrac 5 3 z\\ y = \dfrac 1 3 (1 - a) + \dfrac 2 3 z\\ z = 0 + z \end{matrix}\right.

la réponse est alors immédiate ...


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