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Droites dans un tétraèdre
Bonjour ou bonsoir,
Décidément ... les exercices sur la géométrie plane dans l'espace me donne du fil à retordre :
ABCD est un tétraèdre. Dans le repère (vecteurs: A, AB, AC, AD), les droites (AG) et (BH) sont elles concourantes ?
On sait que :
->G est le centre de gravité du triangle BCD, tel que : vecteurBG=(vecteurBC +vecteur)BD/3
->H est le centre de gravité du triangle ACD, tel que vecteurAH=(vecteurAC + vecteurAD)/3
Je suppose qu'il faut déterminer les représentations paramétriques de chaque droite mais si je suis ici, c'est que je n'y arrive pas...
Bonne soirée à tous!
En faisant un dessin (ce que je te conseille) j'ai l'impression qu'il se passe quelque chose si tu poses le milieu de
et que tu considères le plan
.
1er cas : si c'est effectivement un plan ( et
ne sont pas parallèles)
Que peux-tu dire des droites et
?
2ème cas : si ce n'est pas un plan
Que peux-tu dire des points et
? Et donc des points
et
?
Maru0
Re. Cette technique pourrait effectivement marcher mais cet exercice est à faire avec les représentations paramétriques de droites (puisqu'il est sur une de mes feuilles sur les représentations paramétriques de droites).
Je pense que si j'avais juste la technique pour trouver la représentation paramétrique de la première droite, j'arriverai à trouver la deuxième et à trouver si elles sont concourantes.
Merci.
Pour deux points A et B, une représentation paramétrique de est
avec
réel (il y a plusieurs formulations, je ne sais pas laquelle est utilisée dans ton cours).
Mais avec celle-ci, les droites et
sont concourantes si et seulement si il existe deux réels
tels que
.
En utilisant la relation de Chasles sur , on fait apparaître des relations qui permettent de conclure.
Maru0Maru0
Cela marche t'il même sans données, par la j'entends uniquement algébriquement ??
Je ne connais aucune coordonnée, or pour moi, dans une représentation parametrique, il y a des réels 😅
Et bien... si on est dans un espace en 3 dimensions, les vecteurs ont 3 coordonnées, et chacune est un réel. Ecrire une équation de droite avec des vecteurs revient à écrire 3 équations avec des réels.
En particulier, je n'ai fait qu'écrire le système à 3 équations pour donner la représentation paramétrique, mais d'une manière différente.
Je ne sais pas si c'est ce lien que tu ne voyais pas, ou si tu parlais d'autre chose
Maru0Maru0
Re. D'accord j'ai compris!
On a : A(0;0;0); B(1;0;0);C(0;1;0) et D(0;0;1)
Ensuite on calcule facilement les vecteur avec la formule du cours.
Et ensuite c'est facile aussi de trouver les représentations paramétriques.
Puis effectivement, à la fin on trouve qu'elles sont concourantes puisque t=s=1/4
Merci beaucoup pour votre aide et bonne continuation à vous !
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