Bonsoir,
je connaissais déjà la réponse à la question 1.

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Il me semble que pour n>2 on peut toujours avoir 3 secteurs angulaires.
Et c'est évidement le minimum possible.

Bonsoir verdurin,

OK pour la question 1, je me doute que la plupart d'entre vous connaissent.
Je veux bien te croire pour la question 2 mais quel est ton secret pour avoir ce nombre de secteurs angulaires ? Un petit dessin peut-être...

Pour la question 3, une réponse partielle.

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Si n est impair on peut avoir n secteurs angulaires avec un polygone étoilé régulier à n sommets.
Un exemple avec 9 droites.

Je crois que c'est le maximum possible.

J'étais en train d'écrire ma dernière réponse pendant que tu postais ton message.
Une justification :

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Pour n=3 ou n=4 on a forcément trois secteurs angulaires.
Pour n>4 on trace n-3 droites puis les trois autres qui forment un triangle englobant tous les points d'intersections des n-3 premières.
Un exemple avec n=6

Très joli verdurin, ta réponse partielle est tout à fait convaincante

Bonjour
On peut prolonger le questionnaire par 2 questions faciles ;
__ Combien de régions bornées ?
__ Combien de points d'intersection ?
Puis par des questions moins faciles comme par exemple :
__ Combien de triangles ?
__ Combien de quadrilatères ?

Avant "combien de triangles ?" il y a :
__ Combien de régions triangulaires ?

Salut derny.
Pour répondre à la question « combien y a t-il de secteurs angulaires au maximum ? » j'utilise le nombre de régions non bornées.

Pour ta dernière question la réponse est : ça dépend de la disposition des droites dès que n5, c'est à dire dès qu'il y a plus d'une disposition possible.

Par exemple avec n=5 on peut avoir 3 ou 5 régions triangulaires.

Ce qui me pose une question : avec n droites quel est le maximum et le minimum du nombre de régions triangulaires ?

Je n'ai aucune idée de la réponse.

Bonsoir
J'ai des réponses aux questions auxquelles on peut rajouter "Combien de segments de droites entre points ?", sauf à la question "Combien de triangles (au maximum) ?".

Il y a un point de vocabulaire :
de mon point de vue j'ai la réponse à la question « combien de triangles ? ».
Dans les deux figures que j'ai données il y en a soit 10.
J'appelle « région » un ensemble connexe délimité par les droites.
Et, avec cette définition,  on a trois régions triangulaires dans la première figure et cinq dans la seconde.

Un exemple avec 6 droites : il y a 20 triangles et 7 régions triangulaires ( en rouge ).

Je crois que c'est le maximum possible, mais je n'en suis pas certain.

Bonjour
Oui verdurin je pense que c'est le maximum possible.
Je trouve les formules suivantes :
Nb de régions bornées : (n² - 3n + 2) / 2
Nb de régions (déjà donnée) : (n² + n +2) / 2
Nb de régions non bornées : 2n
Nb de points : (n² - n) / 2
Nb de segments de droite entre points : n (n - 2)
Nb max de régions triangulaires :
soit pour n=3 à 8 : 1,  2,  5,  7,  11,  14
Nb max de triangles : ?

Bonsoir,
un petit résumé.

— Pour les questions de Vassillia, en écartant les cas n=1 et n=2.

On a au minimum trois secteurs angulaires et au maximum n secteurs angulaires si n est impair. Si n est pair il y a au maximum n-1 secteurs angulaires.

— Pour les questions de derny je suis d'accord avec ses réponses jusqu'au nombre de segments (exclu).
J'ai l'impression qu'on ne se comprend pas : je crois que l'on ne parle pas vraiment des mêmes objets.

Une figure pour expliquer ce que je compte

Sur la droite d₁ je compte 3 segments [AB], [AD] et [BD] et je crois que derny ne compte que [AD] et [BD].
Ce qui explique que je trouve 12 segments là où il en trouve 8. Mais j'imagine comprendre que notre désaccord vient de là.

Pour les régions triangulaires il me semble possible que sa formule soit juste ( je n'ai pas vraiment réussi à en trouver une, mais la sienne semble correcte pour les petites valeurs de n ).

Pour les triangles, leur nombre ne dépend que de n dans ma vision des choses.
Dans la figure ci-dessus je vois 2 régions triangulaires (ADE) et (ECF) et 2 autres triangles (ABC) et (BDF).
Avec cette vision en choisissant 3 droites on obtient un triangle.
Par exemple le triangle (ADE) correspond au choix des droites d₁, d₃ et d₄.
Et il y a donc triangles pour n droites.