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Droites et plans dans l espace.
Bonjour,
J'ai un exercice à faire et j'aimerais de l'aide.
Soient les points A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) de l'espace, les réels a b et c étant non nuls.
1) Détérminer une équation du plan (ABC)
2) Détérminer un équation du plan P passant par O et parallèle au plan (ABC).
3) Détérminer un équation du plan P' passant par O et pas les milieux des segments [CA] et [CB].
4) Détérminer une représentation paramétrique de la droite (d), intersction des plans P et P'.
5) Détérminer la position relative des droites (d) et (AB).
Merci beaucoup
Wamex 
1)
Equation générale d'un plan: Dx + Ey + Fz + G = 0
Passe par A --> Da + G = 0
Passe par B --> Eb + G = 0
Passe par C --> Fc + G = 0
G = 0 ne peut pas convenir -->
(D/G)a + 1 = 0
(E/G)b + 1 = 0
(F/G)c + 1 = 0
3 équations à 4 inconnues, on a donc un degré de liberté qui permet de choisir par exemlple la valeur de G (différent de 0)
Je choisis G = 1 -->
Da + 1 = 0
Eb + 1 = 0
Fc + 1 = 0
D = -1/a
E = -1/b
F = -1/c
Equation du plan ABC: (-1/a)x - (1/b)y - (1/c)z + 1 = 0
et en mulptipliant les 2 membres par -abc -->
bcx + acy + abz - abc = 0 (équation du plan ABC)
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2)
Un vecteur normal au plan ABC a pour composantes (bc ; ac ; ab)
Ce vecteur est égalemenr normal à tout plan // à ABC --> ces plans ont une équation de la forme:
bcx + acy + abz + k = 0
Et parmi ceux-ci, celui qui passe par O est tel que: 0 + 0 + 0 + k = 0 --> k = 0
Son équation est donc: bcx + acy + abz = 0 (équation du plan P).
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3)
milieu de [CA] : (a/2 ; 0 ; c/2)
milieu de [CB] : (0 ; b/2 ; c/2)
Comme le plan passe par O, son équation est du type: x + Hy + Kz = 0
passe par le point de coordonnées: (a/2 ; 0 ; c/2) --> (a/2) + (c/2)K = 0
passe par le point de coordonnées: (0 ; b/2 ; c/2) --> (b/2)H + (c/2)K = 0
On a le système:
(a/2) + (c/2)K = 0
(b/2)H + (c/2)K = 0
(a/2) + (c/2)K = (b/2)H + (c/2)K
(a/2) = (b/2)H
H = a/b
K = -a/c
Equation du plan P': x + (a/b)y -(a/c)z = 0
Soit: bcx + acy - abz = 0
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4)
bcx + acy + abz = 0
bcx + acy - abz = 0
bcx + acy = 0
abz = 0
bx + ay = 0
z = 0
Posons x = k --> y = -(b/a)k
Equations paramétriques de d:
x = k
y = (-b/a)k
z = 0
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5)
Equations de la droite (AB)
z = 0
y = (-b/a)x + b
La droite(AB) est // à la droite d
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Sauf distraction. Vérifie 
Bonsoir,
merci pour ton aide J-P c'est surtout la fin de l'exercice qui me posait problème.
Merci encore.
Wamex
Bonjour,
pour la question 3 , "Comme le plan passe par O, son équation est du type: x + Hy + Kz = 0"
je ne comprend pas pourquoi il n'y a pas de coefficient devant x ?
Merci Popey!
Soit l'équation générale d'un plan passant par l'origine:
g.x + h.y + k.z = 0 (ainsi tu as tes 3 coefficients).
Si g est différent de 0 (et c'est le cas dans l'exercice proposé) on divise les 2 membres de l'équation par g -->
x + (h/g).y + (k/g).z = 0
On pose H = h/g et K = k/g et on a:
x + Hy + Kz = 0.
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