Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Géometrie plane et dans l'espaceTopics traitant de Géometrie plane et dans l'espace [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Droites et plans de l'espace.

Posté par
matheux14 07-03-21 à 22:13

Bonsoir ,

Merci d'avance.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O ;\vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k}).

A(-1 ;2;1) , B(1;-6;-1) et C(2;2;2)

1-a) Vérifier que les points A , B et  C définissent bien un plan.

b) Démontrer que le vecteur \vec{n}(1;1;-3) est un vecteur normal au plan (ABC).

2) Soit (P) le plan d'équation : x-y+z-4=0.

a) Démontrer que les plans (ABC) et (P) sont sécants.

b) Soit (D) la droite d'intersection des plans (P) et (ABC).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D).

Alors déjà je ne comprends pas vraiment cette première question.

Posté par
matheux14re : Droites et plans de l'espace. 07-03-21 à 22:16

Est-ce que je dois dire que A ≠ B ≠ C ?

Posté par
gerrebare : Droites et plans de l'espace. 07-03-21 à 22:22

Bonsoir,     Que peux-tu dire des vecteurs AB et AC ?                                                                                                                                                                                            

Posté par
matheux14re : Droites et plans de l'espace. 07-03-21 à 22:53

\vec{AB}(2;-8;-2) et \vec{AC}(3;0;-1) sont non colinéaires.

Posté par
gerrebare : Droites et plans de l'espace. 07-03-21 à 23:02

ABC est donc un ...?

Posté par
matheux14re : Droites et plans de l'espace. 07-03-21 à 23:21

(ABC) est donc un plan.

1-b) On a : \vec{n}(1;1;-3)

\vec{AB}(2;-8;-2)

\vec{AC}(3;0;-1)

*\vec(n}.\vec{AB}=1×2+1×(-8)-3×(-1)=2-8+6=8-8=0

\vec{n}.\vec{AB}=0 donc \vec{n} et \vec{AB} sont orthogonaux. (1)

*\vec(n}.\vec{AC}=1×3+1×0-3×(-1)=3-3=0

\vec{n}.\vec{AC}=0 donc \vec{n} et \vec{AC} sont orthogonaux. (2)

D'après (1) et (2) , \vec{n}(1;1;-3) est un vecteur normal au plan (ABC).

2-a) Comment est ce que je devrais faire ?

Posté par
gerrebare : Droites et plans de l'espace. 07-03-21 à 23:26

Il suffit de de comparer leurs vecteurs normaux....

Posté par
matheux14re : Droites et plans de l'espace. 07-03-21 à 23:39

Ok , alors un vecteur normal de (P) est : \vec{n'}(1;-1;1) et \vec{n}(1;1;-3) est un vecteur normal au plan (ABC).

\vec{n} et \vec{n'} ne sont pas colinéaires donc (P) et (ABC) sont sécants.

Posté par
gerrebare : Droites et plans de l'espace. 07-03-21 à 23:59

Bien vu.

Posté par
matheux14re : Droites et plans de l'espace. 08-03-21 à 00:26

2-b) Comment faire ?

Posté par
Pirhore : Droites et plans de l'espace. 08-03-21 à 14:50

Bonjour,

en attendant le retour de gerreba que je salue

  un petit coup de pouce puisque tu sembles ne pas avoir vu ça en cours

Posté par
matheux14re : Droites et plans de l'espace. 08-03-21 à 15:03

Ok

Posté par
gerrebare : Droites et plans de l'espace. 08-03-21 à 17:36

Essaie de trouver l'équation du plan P.

Posté par
gerrebare : Droites et plans de l'espace. 08-03-21 à 17:38

Bonjour Pirho et merci!

Posté par
Pirhore : Droites et plans de l'espace. 08-03-21 à 17:41

de rien  

Posté par
matheux14re : Droites et plans de l'espace. 08-03-21 à 20:49

gerreba @ 08-03-2021 à 17:36

Essaie de trouver l'équation du plan (ABC).


C'est déjà fait

Le plan (ABC) passe par le point C( 2 ; 2 ; 2) et a pour vecteur normal \vec{n}(1;1;-3)

==> (ABC) : 1(x-2)+1(y-2)-3(z-2)=0

(ABC): x-y-3z+2=0

Et (P): x-y+z-4=0

M(x;~y~;z)\in (ABC) ~\text{et} ~ \in (P) \iff \begin{cases} x+y-3z+2=0 \\ \\ \\ x-y+z-4=0\end{cases}

\iff  \begin{cases} x+y=3t-2 \\ \\ x-y=-t+4 \\ \\ z=t\end{cases}

\iff  \begin{cases} x=-2t+1 \\ \\ y=-t-3 \\ \\ z=t\end{cases}

Donc (D)=(P) \cap (ABC) :   \begin{cases} x=-2t+1 \\ \\ y=-t-3 \\ \\ z=t\end{cases}

Posté par
Priamre : Droites et plans de l'espace. 09-03-21 à 09:31

Bonjour,
As-tu vérifié ce dernier résultat ?

Posté par
matheux14re : Droites et plans de l'espace. 09-03-21 à 12:27

Comment le vérifier ?

Posté par
Priamre : Droites et plans de l'espace. 09-03-21 à 13:03

Tu pourrais vérifier que cette droite appartient à chacun des plans (P) et (ABC).

Posté par
matheux14re : Droites et plans de l'espace. 09-03-21 à 13:09

Je ne vois pas comment on puisse le faire..

Posté par
Pirhore : Droites et plans de l'espace. 09-03-21 à 14:08

il suffit de remplacer  x, y et z dans les équations de plans

mais tu t'es trompé dans l'avant dernière accolade de ton post du 08:03:21 à 20h49

Posté par
matheux14re : Droites et plans de l'espace. 11-03-21 à 16:30

M(x;~y~;z)\in (ABC) ~\text{et} ~ \in (P) \iff \begin{cases} x+y-3z+2=0 \\ \\ \\ x-y+z-4=0\end{cases}

\iff  \begin{cases} x+y=3t-2 \\ \\ x-y=-t+4 \\ \\ z=t\end{cases}

\iff  \begin{cases} x=t+1 \\ \\ y=2t-3 \\ \\ z=t\end{cases}

Donc (D)=(P) \cap (ABC) :   \begin{cases} x=t+1 \\ \\ y=2t-3 \\ \\ z=t\end{cases}

Une dernière question :

Justifier qu'il existe exactement deux points d'ordonnées -4 et de côté nulle équidistants des plans (P) et (ABC) dont on précisera les coordonnées.

Posté par
Priamre : Droites et plans de l'espace. 11-03-21 à 20:50

Bonsoir,
Comment comptes-tu répondre à cette dernière question ?

Posté par
matheux14re : Droites et plans de l'espace. 11-03-21 à 21:16

J'ai d'abord utiliser GeoGebra pour représenter les deux plans.. mais je ne vois pas vraiment ces deux points dont l'énoncé parle..

En plus j'ai pas compris cette dernière question..

Posté par
Priamre : Droites et plans de l'espace. 11-03-21 à 22:29

Tu pourrais calculer la distance d'un point (x; - 4; 0) à chacun des deux plans et écrire que ces deux distances sont égales.

Posté par
matheux14re : Droites et plans de l'espace. 12-03-21 à 17:17

Soit \Omega (x ; -4 ;0).

La distance d d'\Omega au plan (ABC) est : d=\dfrac{|x+(-4)×1+0×(-3)+2|}{\sqrt{1²+1²+3²}}=\dfrac{|x-2|}{\sqrt{11}}

La distance d' d'\Omega au plan (P) est :

d=\dfrac{|1×x+(-4)×(-1)+0×1-4|}{\sqrt{1²+(-1)²+1²}}=\dfrac{|x|}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}|x|}{3}

d=d'\iff \dfrac{|x-2|}{\sqrt{11}}=\dfrac{\sqrt{3}|x|}{3}\iff \sqrt{33}|x|=3|x-2|

\iff x²=\dfrac{9(x-2)²}{33}

\iff 24x²+36x-36=0

\sqrt{\Delta}=12\sqrt{33}

x_{1}=-\dfrac{3+\sqrt{33}}{4} et x_{2}=\dfrac{-3+\sqrt{33}}{4}

C'est à dire que ces deux points sont : \Omega_{1}\left(-\dfrac{3+\sqrt{33}}{4} ; -4 ;0\right)

Et \Omega_{2}\left(\dfrac{-3+\sqrt{33}}{4} ; -4 ;0\right)

Mais graphiquement je ne vois pas grand chose..

Posté par
Priamre : Droites et plans de l'espace. 12-03-21 à 18:38

Oui, c'est ce que je trouve. Mais je ne vois pas non plus comment on pourrait apprécier graphiquement ce résultat.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !