1) Le cube ABCDEFGH a une base carrée d'où les côtés du triangle AFC qui sont les diagonales [AC] , [FC]  et [AF] sont égales .

D'où AFC est un triangle équilatéral.

Bonjour,
3) me semble facile

Pour 1), je préciserais que les faces du cube sont toutes des carrés de même dimension.

Oui , c'est ce que j'ai fait en précisant que le cube ABCDEFGH est un cube à base carrée .

2) je ne sais pas comment faire.

2/
AFC est équilatéral.
Dans triangle équilatéral, une médiane est aussi hauteur...

2) Pourrais-tu citer une droite qui serait perpendiculaire à la droite (IC) ?

Bonjour
une perspective ce n'est pas forcément avec l'angle des fuyantes = 45° et le rapport

il peut être judicieux de choisir un angle de vue évitant de superposer des points ou des droites indispensables

Bonjour à tous,
C'est certain qu'une figure où on n'arrive pas à distinguer les points I et D, ça n'aide pas
Et finalement, la question 2), une fois tracé les segments qui interviennent, est aussi facile.

Oui ,

Alors (IC) (AF)

Or (DG) // (AF) .

Donc (IC) car si deux droites sont parallèles , toute droite parallèle à l'une est parallèle à l'autre.

Oups

kamikaz @ 02-05-2020 à 14:40

Or (DG) // (AF) .

Donc (IC) (DG) car si deux droites sont parallèles , toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Oups j'ai sauté quelque chose .

(DG)//(AF) car les plans (DHG) et ( AEF) sont parallèles .

C'est bien. Je dirais plutôt : toute droite parallèle à l'une de deux droites perpendiculaires entre elles est orthogonale à l'autre droite.

Oui , en grosso modo ,

Le triangle AFC est équilatéral et I est le milieu de [AF] donc (IC) est une hauteur du triangle AFC.

Donc : (IC) (AF) .

Justifions que (DG)//(AF).

ADHE est un carré donc (AD) // (EH) ; EFGH est un carré donc (FG) //(EH) .

Il en résulte que (AD)//(FG) car elles sont parallèles à une même droite.

Donc ADGF est un quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur,donc ADFG est un parallélogramme. (AF)//(DG).

Récapitulons: (CI) (AF) et (DG) //(AF)

Conclusion : (DG) (CI).

3) maintenant.

Cherche un peu

Ok , (IJ) //(AC) ...

Et ?

Et (DB) (AC) d'où (IJ) (DB) .

Et pourquoi (IJ) //(AC) ?

Car (IJ) (FB) et (AC) (FB) .

Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Aïe !
Faux dans l'espace.
Par exemple, les droites (BF) et (BC) sont perpendiculaires à la droite (BA).
Mais les droites (BF) et (BC) ne sont pas vraiment parallèles...

Il faut donc trouver autre chose pour (IJ) //(AC)

Par ailleurs, " (IJ) (FB)" n'a pas été justifié.
Mais c'est inutile.

Oui , je vois .

C'est là droite (CG) .

(CG) (AC) et

(CG) (IC)

_{y'a mon schéma qui ne m'aide pas , j'ai dû utiliser celui de Mathafou} .

Pour démontrer  (IJ)//(AC) , tu pourrais raisonner dans un triangle . . .

Bonjour Priam,
Oui, et avec la chouette figure de mathafou, ça se voit un peu comme le nez au milieu de la figure.
Bien qu'avec les masques...

(CG) (IC)

Comment faire alors ?

Dans le triangle AFC.

Oui.

Oui , mais comment faire ?

Ne connais-tu pas le théorème de la droite des milieux dans un triangle ?

Non

Regarde dans les Fiches de maths de l'Ile : quatrième / Triangles, milieux et parallèles.

C'est mon heure de bonté : Triangles : milieux et parallèles, théorème de Thalès

Donc

3) Dans les triangle équilatéral AFC ,  
I et J sont les milieux respectifs de [AF] et [CF] .
D'où (IJ)//(AC) d'après la droite des milieux.

Or ABCD est un carré donc (BD) est perpendiculaire à (AC) car les diagonales d'un carré sont perpendiculaires.

récapitulons : (IJ)//(BD) et  (BD) (AC)

conclusion : (BD) (IJ).

Merci beaucoup.

Et cette propriété des milieux, tu l'avais vraiment oubliée ?

Pas vraiment !

Merci