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Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé.

Posté par
Othnielnzue23 23-06-20 à 18:04

Bonjour , j'ai besoin d'aide .

Merci d'avance.

ABC est un triangle rectangle en A , H est le pied de la hauteur issue de A , I est le milieu de [BC].

K et L sont les projetés orthogonaux de H respectivement sur [AB] et [AC].

Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé.

Le but de l'exercice est de démontrer que les droites (AI) et (LK) sont perpendiculaires.

1) Choisir un repère orthonormé.

2) Déterminer les coordonnées des points de la figure .

3) Conclure.

Réponse

1) Soit E le milieu du segment [AC] et F celui de [AB] , I est le milieu de [BC].

D'après la propriété de la droite des milieux, (EI) // (AF) et \vec{EI}=\vec{AF}

D'où (A,F,E) , un repère orthonormé.

2)*Coordonnées du point I :

On sait que : EI=EA

Donc AE=FI=EI

FI=EI , I(1;1)

*Coordonnées de C

E est le milieu de [AC] donc C(0;2)

*Coordonnées de B

F est le milieu de [AB] donc B(2;0)

Pour les autres points , je n'y arrive pas...

Posté par
Leilere : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 18:09

bonjour,
"H est le pied de la hauteur issue de A"

sur ta figure AH n'est pas une hauteur..
quant au repère, pourquoi ne pas prendre (A, AB, AC )  ?

Posté par
lafol Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 18:11

Bonjour
je ne vois pas par quelle magie ton repère serait orthonormé ?
tu as un triangle rectangle en A : prends donc A comme origine, puis pour avoir des vecteurs normés (dans orthonormé, il y a normé), choisis \dfrac{1}{||\vec{AB}||}.\vec{AB}, et un vecteur construit de la même façon sur la droite (AC)

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 18:18

Oui , pour le repère , j'y ai pensé

Mais AB n'est pas égal à AC ...

L'énoncé précise que ABC est un triangle rectangle en A , pas qu'il est  isocèle ..

Posté par
Leilere : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 18:20

suis le conseil de lafol, que je salue..

et pour H, la question est toujours là..

je dois partir, je laisse lafol poursuivre.

Posté par
lafol Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 18:20

à ton avis pourquoi je les divise chacun par sa norme ? orthonormé ne signifie d'ailleurs pas que les vecteurs ont la même norme, il signifie que tous les vecteurs ont pour norme 1, en plus d'être orthogonaux

Posté par
lafol Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 18:21

pour H je pense sur le principe "raisonner juste sur une figure fausse", non ?

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 18:32

D'accord ,

1) On choisit le repère (A,AB,AC)

2)* Coordonnées de I

D'après la propriété de la droite des milieux ... , I(1/2;1/2)

*Coordonnées de B

B(1;0)

*Coordonnées de C

C(0;1)

*Coordonnées de A

A(0;0)

Comment faire pour les autres points ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 18:44

Bonjour,
déja là c'est faux...

on est amené à définir des réels arbitraires b et c pour les normes des vecteurs AB et AC)
et par conséquent
B (b; 0) et C(0; c)
la suite tout en littéral avec ces "b" et "c".

"raisonner juste sur une figure fausse",
ça ne peut se faire que si on marque explicitement les codages (les angles droits, les segments égaux etc)

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 19:19

et quand je dis c'est faux, c'est dès le tout début ; la question1 est fausse

tu ne peux pas choisir (A; AB; AC) car les vecteurs AB et AC n'ont aucune raison d'avoir la même norme !!!

et

malou, ailleurs

quand nous écrivons quelque chose, merci de bien le lire, dans le détail

et "d'accord" alors que tu n'en tiens aucun compte , de ce que lafol a écrit
moi j'appelle ça se f... du monde.
lafol @ 23-06-2020 à 18:11

... choisis {\red \dfrac{1}{\|\vec{AB}\|}}.\vec{AB}, et un vecteur construit de la même façon sur la droite (AC)


et il a même encore plus lourdement insisté :
lafol @ 23-06-2020 à 18:20

à ton avis pourquoi je les divise chacun par sa norme ?


normes que j'appelle, " b" et "c" dans ce que moi, j'ai dit.
(on dit pareil en fait)

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 20:20

Pourquoi me f*** de vous alors que j'ai besoin de vos aides ...

À propos du repère orthonormé

Othnielnzue23 @ 23-06-2020 à 18:18

Oui , pour le repère , j'y ai pensé

Mais AB n'est pas égal à AC ...

L'énoncé précise que ABC est un triangle rectangle en A , pas qu'il est  isocèle ..


Citation :
orthonormé ne signifie d'ailleurs pas que les vecteurs ont la même norme, il signifie que tous les vecteurs ont pour norme 1, en plus d'être orthogonaux

Posté par
co11re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 20:24

Bonsoir,
tu as déjà eu pas mal de réponses.
J'aime assez les notations de mathafou qui sont bien pratiques. : AB = b et AC = c.
Je les conserve.
1) tu dois choisir un repère orthonormé : as-tu compris qu'on te propose (A; \vec{i}; \vec{j}) où :
\vec{i} = \frac{1}{b}\vec{AB}
et\vec{j} = \frac{1}{c}\vec{AC}

Posté par
co11re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 20:29

2) à part les coordonnées de I qui ne posent pas de problème, tu as un peu de travail.
Propose au moins un plan.

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 20:42

Citation :
orthonormé ne signifie d'ailleurs pas que les vecteurs ont la même norme, il signifie que tous les vecteurs ont pour norme 1, en plus d'être orthogonaux

ça c'est la phrase qui tue par sa fausseté, ce n'est certainement pas ce que lafol voulait dire !

il ne s'agit pas de TOUS les vecteurs partout et quels qu'ils soient (ce serait absurde)

mais des vecteurs de la base
ceux qu'on appelle traditionnellement \vec{i} et \vec{j}

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 21:29

Citation :
1) tu dois choisir un repère orthonormé : as-tu compris qu'on te propose (A; \vec{i}; \vec{j}) où :
\vec{i} = \frac{1}{b}\vec{AB}
et\vec{j} = \frac{1}{c}\vec{AC}


Je ne comprends pas pourquoi \vec{i} = \frac{1}{b}\vec{AB}
et\vec{j} = \frac{1}{c}\vec{AC}

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 21:52

on veut que la norme de \vec{i} soit 1 (c'est ce que veut dire orthonormé)
si la norme de \vec{AB} (la mesure de [AB]), est b, réputée quelconque , c'est pour ça qu'on l'appelle b en littéral

alors en multipliant le vecteur \vec{AB} par l'inverse de sa norme 1/b, (en "divisant" par b) on obtient bien un vecteur \vec{i} de norme 1 qui est ce qu'on veut.

mais tu as certainement oublié, ou considéré que ça n'avait plus aucun intérêt une fois l'exercice terminé, ton exo précédent sur les vecteurs normaux unitaires ??
c'est pareil !!
ici aussi on veut un vecteur unitaire , donc on divise par la norme.

ce qui est ce que disait lafol très exactement
auquel tu as répondu "d'accord" sans en tenir compte du tout le moins du monde puisque juste après tu as repris \vec{AB} sans le diviser!!

à quoi ça sert qu'on te réponde si tu n'en tiens pas compte ???
à quoi ça sert de faire autant d'exos à la chaine si une fois l'eo terminé tu n'en tires aucune leçon ?

Posté par
malou Webmasterre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 22:01

Bonsoir à tous les deux
toute petite remarque, je ne fais que passer
Othnielnzue23, souviens toi de "ma" figure où j'avais dessiné un cercle de centre O en pointillé avant de dessiner les 2 vecteurs de norme 1, et normaux à ta droite...
Vecteurs normaux

bonne soirée

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 22:26

Oui , voilà pourquoi j'ai dit que je ne pouvais pas choisir (A;AB;AC) car ABC n'est pas un triangle rectangle isocèle..

Si vous auriez pu remarquer ce que j'ai fait dans mon 1er message

AB n'est pas égal à AC , donc aucune raison de choisir (A;AB;AC) comme repère orthonormé.


Citation :
1) Soit E le milieu du segment [AC] et F celui de [AB] , I est le milieu de [BC].

D'après la propriété de la droite des milieux, (EI) // (AF) et \vec{EI}=\vec{AF}

D'où (A,\red{\vec{AF}}\red{\vec{AE}}) , un repère orthonormé.

2)*Coordonnées du point I :

On sait que : EI=EA

Donc AE=FI=EI

FI=EI , I(1;1)


J'ai bien considéré que AE=1 ...

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 22:29

et comme on va pas passer sa vie à rabâcher ce qui a éte dit et redit

une figure pour illustrer ça

Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé.

pur la faire, je trace un triangle rectangle ABC quelconque

et deux vecteurs i et j de longueur tout aussi quelconque mais égales
et je complète le tout (point H etc)
inversement si la figure de ABC est déja donnée , en l'absence de mesures données dans l'énoncé, je mets dessus deux vecteurs i et j de longueurs quelconques mais égales et je décrète que leur mesure est "1" (1 mm ? 1 cm? 1 pouce ? 1 toise ? on s'en fiche, c'est ce que j'ai choisi de dessiner qui est l'unité de mesure, c'est moi qui la décrète) et comme la mesure de AB, je ne la connais pas je l'appelle b, pour "un nombre réel quelconque de R+"
c'est la mesure de [AB] dans l'unité que j'ai choisie arbitrairement par ce vecteur i

un point c'est tout.

et pour décrire cette situation (c'est à dire répondre à la question 1 !!) c'est ce qu'on a dit à propos des normes etc

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 22:35

et encore une fois et rabâchage de redite tout ce que tu as écrit et calculé est FAUX
B a pour coordonnée (b; 0) et certainement pas B (1; 0)et C (0; 1) etc.
car cela voudrait dire que ABC est isocèle !!!!

on ne connait pas les mesures de AB et de AC
on DOIT TOUT FAIRE EN LITTERAL (rabâchage de redite) avec b et c (mesures de AB et AC) écrites b et c et rien d'autre.

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 22:41

et puis de tout façon il n'y a pas de point E et il n'y aucune raison qu'il y en ait.
les points définis par l'énoncé suffisent, aucun besoin d'en créer d'autres.
c'est du calcul sur des coordonnées avec le formules sur les coordonnées.
(coordonnées d'un milieu, condition d'orthogonalité et condition de colinéarité ... point barre)

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 23:01

Je savais que c'était faux.
Mais je voulais juste vous faire remarquer aussi que sais que quand on a un repère orthonormé (O,i,j) , alors la norme du vecteur i=1 et celle de j aussi ...(i=j)
D'ailleurs que je n'oublie rien de ce qu'on a déjà...

Maintenant ,

Citation :
1) tu dois choisir un repère orthonormé : as-tu compris qu'on te propose (A; \vec{i}; \vec{j}) où :
\vec{i} = \frac{1}{b}\vec{AB}
et\vec{j} = \frac{1}{c}\vec{AC}
je sais pourquoi ...

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 23:39

2) *coordonnées de B

B(b;0)


*Coordonnées de C

C(0;c)

*Coordonnées de I

I(1/2b;1/2c) car

Citation :
Soit E le milieu du segment [AC] et F celui de [AB] , I est le milieu de [BC].

D'après la propriété de la droite des milieux, (EI) // (AF) et [ex]\vec{EI}=\vec{AF}[/tex]

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 23-06-20 à 23:43

*coordonnées de A

A(0;0)

J'ai du mal à déterminer les coordonnées des points L , H et K

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 00:44

Coordonnées de I
I(1/2b;1/2c)
car I milieu de BC donne xI = (xB+xC)/2 = (b+0)/2 = b/2
etc

Citation :
c'est du calcul sur des coordonnées avec les formules sur les coordonnées.
(coordonnées d'un milieu, condition d'orthogonalité et condition de colinéarité ... point barre)


et pour H (xH; yH) :
" condition d'orthogonalité et condition de colinéarité ..."

B, H, C alignés = condition de colinéarité sur les coordonnées de tout ça
AH ⊥ BC = condition d'orthogonalité

ça donne un système de deux équations à deux inconnues xH et yH
(qu'on peut tout aussi bien écrire (x, y) pour simplifier l'écriture)

les coordonnées de K et L s'en déduisent ensuite instantanément sans aucun calcul....

mais à quoi ça sert qu'on t'écrive
Citation :
c'est du calcul sur des coordonnées avec les formules sur les coordonnées.
(coordonnées d'un milieu, condition d'orthogonalité et condition de colinéarité ... point barre)

Posté par
Leilere : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 11:35

bonjour,
je ne fais que passer : j'aimerais apporter une précision.
Othnielnzue23, tu sembles croire que je t'ai recommandé de prendre (A, AB, AC) comme repère. Ca n'était pas le cas du tout.
Dans ton post initial, tu avais construit les milieux E et F de AB et AC et tu en avais conclu que (A, E, F) était ton repère. Cela ne peut etre correct que si AB = AC.
si (A, AE, AF)  était correct, "pourquoi ne pas prendre (A, AB, AC) comme repère ? "
Tu l'as dit toi-même : parce que ABC n'est pas isocèle, donc (A, AE, AF) n'est pas un repère correct.
Sur ce, je te laisse avec mathafou.

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 12:31

Oui mais en tout cas H n'est pas le milieu de [IB]


Soit H(xH;yH) et K(xK;yK)

\vec{HK}(x_{K}-x_{H};y_{K}-y_{H})

\vec{AB}(b;0)

\vec{HK} \vec{AB}

<==> (xK-xH-b)+(yK-yH)=0

<==>xK-xH-b+yK-yH=0

<==>

*xK=b+xH-yK+yH

*yK=b-xK+xH+yH

*xH=-b+xK+yK-yH

*yH=-b+xK-xH+yK

L [AC]

<==> \vec{AL} et \vec{AC} sont colinéaires :

\vec{AL}(x_{L};y_{L})  et

\vec{AC}(\frac{b}{2};\frac{c}{2})

<==> x_{L}×\frac{c}{2}-\frac{b}{2}×y_{L}=0


<==> x_{L}=\frac{b}{c}×y_{L}

y_{L}=\frac{c}{b}×x_{L}

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 12:55

Oui mais en tout cas H n'est pas le milieu de [IB]
qu'est ce que ça vient faire là ?? l'ai-je ne serait ce que suggéré à quelque moment que ce soit ??

calculs farfelus :

Soit H(xH;yH) et K(xK;yK)

mort de rire

K (xH; 0) est parfaitement archi évident sans aucun calcul de quoi que ce soit (simple définition de ce que sont des coordonnées)

\vec{HK} : poubelle.

la colinéarité c'est EVIDEMMENT entre les points B, H, C

(par exemple au plus simple : colinéarité de \Large \red \vec{BH} et \Large \red\vec{BC}

y a pas de H là dedans

et l'orthogonalité c'est pour dire que AH est une hauteur, que AH ⊥ BC
donc l'orthogonalité de \Large \red \vec{AH} et \Large \red\vec{BC}

(sans parler des développements fantaisistes ensuite, de différences à la place de produits etc
le produit scalaire c'est x multiplié par x' + y multiplié par y' !!!

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 13:00

** "y a pas de H là dedans" lire : "y a pas de K là dedans". bien évidemment.

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 13:58

\vec{BC}(-b;c) et \vec{BH}(x_{H}-b;y_{H})

\vec{BC} et \vec{BH} étant colinéaires ,

-byH-c×xH=0

x_{H}=-\dfrac{b}{c}y_{H}

y_{H}=-\dfrac{c}{b}x_{H}

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 14:18

Citation :
deux inconnues xH et yH
(qu'on peut tout aussi bien écrire (x, y) pour simplifier l'écriture)
et je ne vais pas m'en priver

\vec{BC}(-b; c) et \vec{BH}(x-b; y) OK

\vec{BC} et \vec{BH} étant colinéaires ,

-by - cx = 0 faux
-by - c(x-b) = 0 soit    cx + by = bc [1] 

x_{H}=-\dfrac{b}{c}y_{H} poubelle

y_{H}=-\dfrac{c}{b}x_{H} poubelle

passons maintenant à \vec{AH}.\vec{BC} = 0 pour obtenir la deuxième équation (un système disais-je ... ).
...... = 0 [2]

il s'agira ensuite de résoudre le système à deux inconnues x et y {[1], [2]}

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 14:32

\vec{AH}.\vec{BC}=0

<==> -bx+cy=0[2]

On résoud donc ce système :
\begin{cases} cx+by=bc \\ -bx+cy=0 \end{cases}

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 14:38

oui.

par combinaison ("addition")
le choix de cette méthode tombe sous le sens vu la "symétrie" dans les coefficients

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 14:49

On arrive à x=\dfrac{b}{2} et y=\dfrac{c}{2}

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 14:55

faux.
(b/2; c/2) c'est les coordonnées de I !! cela montre à l'évidence que ce résultat est faux (l'esprit critique sur ses propres résultats est une exigence fondamentale en maths)
et donc qu'il y a une erreur dans tes calculs .

montre voir un peu les détails de comment tu fais pour résoudre

\begin{cases} cx+by=bc \\ -bx+cy=0 \end{cases}

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 15:06

\dfrac{\dfrac{cx+by=bc}{+cx-by=0}}{=2cx+0=bc}

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 15:13

par quel tour de passe passe -bx se transforme-t-il en + cx ??????
( et +cy devint-il -by)

les seules transformations qu'on a le droit de faire sur des égalités c'est multiplier (ou bien diviser) tout par la même quantité non nulle
ou ajouter (ou bien retrancher) une même quantité aux deux membres
RIEN D'AUTRE

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 15:32

J'ai divisé tout par b ..

\begin{cases} cx+by=bc \\ -bx+cy=0 \end{cases}

<==> \begin{cases} \dfrac{c}{b}x+\dfrac{b}{b}y=\dfrac{b}{b}c \\ -\dfrac{b}{b}x+\dfrac{c}{b}y=0 \end{cases}

<==> \begin{cases} \dfrac{c}{b}x+y=c \\ -x+\dfrac{c}{b}y=0 \end{cases}

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 15:49

et après ??? ça te fait une belle jambe tiens...
en tout cas ça ne donne absolument pas ce que tu prétendais.

"diviser tout" , tu as vraiment le chic pour comprendre ce qu'on te dit complètement de travers à chaque fois !!!

tout d'une même équation, pas tout le système , ça n'apporte rien du tout de multiplier ou diviser tout le système !

et puis diviser : quelle horreur affreuse
multiplier, oui :

\left\{\begin{array}l cx + by = bc \; \; [1]\\bx - cy = 0\; \; [2]\end{array}\right.
en multipliant [1] par c et [2] par b :

\left\{\begin{array}l c^2x + bcy = bc^2 \; \; [1']\\b^2 x - bcy = 0 \; \; [2']\end{array}\right.
système équivalent dans lequel les coefficients de y sont opposés

c'est comme ça qu'on "rend les coefficients de y opposés"
en tenant compte des règles ! (les seules qui existent, celles rappelées dans le message précédent et aucune autre)
pas en remplaçant n'importe quoi selon son simple désir.
ou en faisant des trucs qui ne servent à rien du tout.

puis en ajoutant membre à membre cela donne :

(b^2+c^2)x = bc^2

et donc x = \dfrac{bc^2}{b^2+c^2}

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 16:36

J'arrive à y=\dfrac{c²+1}{c}+\dfrac{b²}{c³}

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 16:53

faux
faudrait apprendre à calculer
et d'ailleurs le "+1" est absurde car on doit avoir la dimension d'une longueur

vu la symétrie entre x / y et b / c, (échanger x et y, c'est échanger b et c)
il est évident que ce qu'on attend est :

y = \dfrac{b^2 c}{b^2+c^2}

à toi de faire des calculs corrects qui aboutiront à ce résultat attendu...

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 17:52

x=\dfrac{bc²}{b²+c²}

Et bx-cy=0

b×(\dfrac{bc²}{b²+c²})-cy=0

cy=\dfrac{b×bc²}{b²+c²}

cy=\dfrac{b²c²}{b²+c²}

cy=\dfrac{b²c²}{b²(1+\dfrac{c²}{b²})}

cy=\dfrac{c²}{1+\dfrac{c²}{b²}}

cy=c²+\dfrac{\dfrac{c²}{c²}}{b²}

cy=c²+\dfrac{1}{b²}

y=\dfrac{c²+\dfrac{1}{b²}}{c}

Je voudrais savoir si c'est bon avant de continuer ..

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 18:15

c'est "évidement faux" pour des raisons de dimensions des grandeurs
(et en plus je t'ai donné le résultat que tu dois obtenir !!)

c'est dû à des pataquès dans tes empilement de fractions affreuses
parce que tu ne sais pas diviser une fraction par un nombre
revoir les bases du calcul sur les fractions (cours de collège)

cy=\dfrac{b²c²}{b²+c²}     jusque là c'est bon

diviser immédiatement la fraction \dfrac{b²c²}{b²+c²} par c est instantané et n'a absolument aucun rapport avec les acrobaties plus fantaisistes les unes que les autres et totalement inutiles que tu fais ensuite.

diviser b²c² par c , ça donne b²c un point c'est tout et c'est TERMINE !!
pour diviser une fraction par un nombre, il suffit de diviser son numérateur par ce nombre , collège,
surtout quand, comme ici, "ça tombe juste" (que b²c² est divisible par c !!)

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 19:27

Ok

Le point L(0;\dfrac{b²c}{b²+c²})

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 19:59

oui, et K tout aussi instantané.

et on termine par la dernière question :

3) le calcul du produit scalaire \vec{AI}.\vec{KL}
maintenant qu'on a toutes les coordonnées, ce ne devrait être que une simple formalité.
(si on se souvient comment on fait les calculs avec des fractions bien entendu ... pas gagné)

ça doit prendre en tout et pour tout :
1 ligne et une seule pour écrire les coordonnées de AI
une ligne et une seule pour écrire les coordonnées de KL
une ligne et une seule pour écrire le produit scalaire
une ligne et une seule pour simplifier (et encore, ça peut être la suite de la même ligne !)
Terminé : conclusion

plus de 4 lignes de "calculs" (hum) en tout pour la question 3, ça veut dire que tu t'es complètement égaré dans des élucubrations.

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 21:25

\vec{AI}(\dfrac{b}{2};\dfrac{c}{2}) et \vec{KL}(-\dfrac{bc²}{b²+c²} ; \dfrac{b²c}{b²+c²})

\vec{AI}.\vec{KL}=\dfrac{b}{2}×(-\dfrac{bc²}{b²+c²})+\dfrac{c}{2}×(\dfrac{b²c}{b²+c²})

\vec{AI}.\vec{KL}=-\dfrac{b²c²}{2b²+2c²}+\dfrac{b²c²}{2b²+2c²}=0

\vec{AI}.\vec{KL}=0

==> (AI) (LK)

Merci beaucoup

Posté par
mathafou Moderateurre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 21:49



juste pour le fun , une démonstration de cette propriété sans aucun calcul et niveau collège :
(ce qui n'est absolument pas ce qui est demandé dans l'exo, la méthode dans l'exo est imposée : repère etc)

Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé.

I étant le milieu de l'hypoténuse BC du triangle rectangle ABC , IB = IC = IA
le triangle IAC est isocèle en I et ses angles en C et en A sont égaux

les angles LCH et LHA sont complémentaires du même angle CHL, ils sont donc égaux
MLH et LHA sont égaux dans le rectangle ALHK

donc finalement MLH et LAM sont égaux
LMA, complémentaire de MLH est donc complémentaire de LAM
par conséquent le triangle AML est rectangle en M

(on aurait pu partir avec le triangle IAB isocèle en I pour aboutir à AMK rectangle en M, c'est pareil)

Posté par
Othnielnzue23re : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 24-06-20 à 22:04

OK

Merci mathafou

Posté par
carpediemre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 25-06-20 à 16:27

salut

encore une très belle démonstration géométrique proposée par mathafou d'autant plus que c'est du niveau collège malheureusement des choses qui ne sont plus enseignées alors que très riche dans la construction de raisonnement "complexe" (plusieurs étapes qui nécessitent une construction, un cheminement) qu'on aurait pu résumer il fut un temps en disant que les triangles ABC et AHL sont semblables

je propose cependant une autre méthode à peine calculatoire mais nettement moins que ce qui est fait durant ce fil  et qui reste un peu dans l'esprit ... tout en n'utilisant que du calcul vectoriel (voir (*)) :

où l'on voit encore que des exercices trop guidés ne permettent pas d'avoir le recul et une vision plus globale : ainsi il n'est pas nécessaire d'introduire de repère orthonormé dès le début et s'embêter avec des fractions ... ni même de parler de repère bien qu'implicitement il y en a un d'explicite

avec la figure de mathafou :

le triangle ABC et rectangle en A (c'est la seule chose fondamentale dès qu'on utilise le produit scalaire) donc :

\vec {KL} \cdot \vec {AI}= (\vec {AL} - \vec {AK}) \cdot \dfrac 1 2 (\vec {AB} + \vec {AC}) = ... = \dfrac 1 2 (AL \cdot AC - AK \cdot AB)

or H est le pied de la hauteur issue de A donc \vec {AH} \cdot \vec {BC} = 0 \iff (\vec {AK} + \vec {AL}) \cdot (\vec {AC} - \vec {AB}) = 0 \iff ... \iff AL \cdot AC - AK \cdot AB = 0

(*) du point de vue pédagogique et didactique un exercice typique et classique de première traitant sur le produit scalaire et pour s'approprier pleinement ses propriétés et le calcul vectoriel (relation de Chasles)

Posté par
malou Webmasterre : Droites perpendiculaires dans un repère orthonormé. 25-06-20 à 16:35

carpediem bonjour
les triangles semblables sont revenus au collège depuis quelques temps....

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