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droites sécantes <==> det(u,v,AB)=0

Posté par
kassiopeia 25-01-25 à 20:03

Bonjour,

voilà ce que j'ai à démontrer:
Soient d et d' les droites passant respectivement par les points A et B et dont des vecteurs directeurs respectifs sont \vec{u} et \vec{v}.

Démontrer que les droites non parallèles d et d' sont sécantes ssi det(\vec{u},\vec{v},\vec{AB})=0.

Voilà pour être franche il me manque totalement une piste.. j'y réfléchis depuis des heures.

Pourriez-vous me donner une piste?

Merci en avance.

Posté par
Zormuchere : droites sécantes <==> det(u,v,AB)=0 26-01-25 à 05:36

Bonsoir
vu le contexte je devine qu'on est dans l'espace à 3 dimensions

Niveau terminale ? (ton profil indique master)

Si les droites sont sécantes, alors il existe un plan contenant les trois vecteurs u, v et AB

Posté par
carpediemre : droites sécantes <==> det(u,v,AB)=0 26-01-25 à 12:27

salut

Zormuche : kassiopeia doit probablement préparer un concours de prof (voir ses posts en supérieur)

une autre façon de dire : le vecteur AB est combinaison linéaire des vecteurs u et v

Posté par
kassiopeiare : droites sécantes <==> det(u,v,AB)=0 26-01-25 à 15:31

Salut,

@carpediem: Voilà c'est ca, un concours - merci pour clarifier. Et en tant qu'Allemande je ne sais pas encore trop dans quelles classes les sujets demandés sont préparés.. chez nous c'est complètement différent en fait.

Par rapport à la question.. c'est aussi simple en fait? Par le fait qu'ils sont coplanaires ca semble évident, j'ai juste pensé que ca suffirerait peut-être pas.

Ok merci encore donc!

Posté par
Zormuchere : droites sécantes <==> det(u,v,AB)=0 26-01-25 à 15:59

si le déterminant d'une matrice 3x3 est nul, alors les 3 vecteurs en question n'engendrent pas un espace 3d mais quelque chose de plus petit : ils sont donc confinés à un même plan, une même droite, ou un même point

Posté par
carpediemre : droites sécantes <==> det(u,v,AB)=0 26-01-25 à 16:00

tu peux toujours le préciser en préambule de tes posts ...

\vec {AB} = a \vec u + b \vec v \Longrightarrow \det (\vec u , \vec v , \vec {AB}) = \det ( \vec u , \vec v, a \vec u + b \vec v) = a \det ( \vec u, \vec v, \vec u) + b \det ( \vec u, \vec v, \vec v) = a \tiumes 0 + b \times 0 = 0

par linéarité du déterminant


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