le rapport vaux 1

Je trouve

Explications :
k]0;1[ tel que V= (Aire des oreilles + Aire de la bouche)*k
donc V=(4+4+)*k=9*k
de même G=9-(1-k)*9= 9*k
d'où le résultat

On remarque que la surface du cercle central égal à*3²= 9 est égal à la somme des surfaces des cercles périphériques soit : (2*2²+1²)= 9.
Soit S₁ et S₂  les surfaces d'intersection entre les cecles périphériques et le cercle central (resp. oreilles et bouche) .
G/V = 9-(2*S₁+S₂)/9-(2*S₁+S₂)=1
Donc G/V =1

Bonjour,

en raisonnant sur les aires, avec les notations de la figure ci-dessous, on a:




d'où l'on tire illico

Ainsi, V=e=G et finalement le rapport vaut .

_{Le problème n'est possible que pour des rayons (entiers) vérifiant l'équation diophantienne x²=2y²+z² (c'est la cas ici x=3,y=2 et z=1).}

Merci pour cette jolie énigme... et heureusement que la souris tire la langue (au chat?) sinon c'était une pub pour D..y !

salut
le rapport est toujours égal à 1

Vu l'énoncé je réponds sans plus réfléchir (comme d'habitude pour les problèmes "simples"): G/V = 9/(2x4+1) = 1

Le cercle de diamètre 6 a pour aire 9pi, ceux de diamètre 4 chacun 4pi, et celuide diamètre 2 a pour aire pi
Il en résulte que l'aire du grand cercle est égale à la somme des aires des trois autres cercles, et si l'on retire à chaque ensemble l'aire de leur intersection (en blanc), on voit que l'aire en gris est égame à l'aire en vert, donc que G/V=1

Si on appelle B l'aire des parties blanches de la tête, on a :
G=9-B et V=4+4+-B=9-B.
Donc =1.

G/V=1
...je pence...^^

le rapport G/V =1 tant que les 2 oreilles ne sont pas superposer
g=28.26cm2 au max
oreilles=12.56*2cm2
bouche =3.14cm2
vert au max =28.26cm2
si on v superpose de 7.0685 les deux diminu d'autant et l'on obtient g/v=1

Bonjour
En effet on p0urrait croire que c'est impossible.
Mais ici comme = 1 et que
= n'est vrai que pour G=V x on a la réponse
=1
A plus

probleme impossible

Je trouve 1

Bonsoir,

En effet, quelle drôle de souris...
Après 2 ou 3 pages de calculs complexes, je trouve que le rapport est égal à 1 ... Ce qui signifie que les aires grise et verte, sont égales...

Enigme simple... mais longue !

REPONSE PROPOSEE :

En appelant V l'aire peinte en vert et G l'aire peinte en gris,

Merci J-P pour cette enigme.

Salut,

Bcracker

(P.S : Je joint à mon post la figure sur laquelle j'ai travaillé ) :

Le rapport vaut 1.

A+

bonjour,

Réponse proposée : 1

Méthode proposée :

En appelant :
- x le rayon de la bouche et Sx=pix² la surface de celle-ci,
- y celui des oreilles et Sy=piy² la surface de celles-ci,
- z celui de la figure et Sz=piz² la surface de celle-ci,
- vx la surface verte de la bouche,
- vy la surface verte de la l'oreille droite,
- v'y la surface verte de la l'oreille gauche,

On a:
V=vx+vy+v'y
G=Sz-( (Sx-vx)+(Sy-vy)+(Sy-v'y) ) = (Sz-Sx-2Sy)+vx+vy+v'y = pi(z²-(x²+2y²))+V

G/V = 1 + pi(z²-(x²+2y²))

or x²+2y²=z² (1²+2.2²=3²)

G/V=1

Il aurait été possible de donner plus d'étoiles à cette énigme en demandant les rayons (diamètres) entiers possibles pour les trois cercles, soit résoudre, dans N, :

x²+2y²=z² (1)

J'ai trouvé une autre solution que x=k, y=2k et z=3k :

x=7p y=4p et z=9p

Comment faire pour trouver TOUTES les solutions à (1) ?

Merci à ceux qui pourront "vulgariser" la réponse à cette question qui doit toucher à la théorie de l'arithmétique.

Merci pour l'énigme,

Philoux

Le rapport vaut toujours 1.

Un bonjour dominical,

car 36=2*16+4

rapport 1?

Bonjour,

Cette énigme n'aura pas cessé de me surprendre...

En effet, étant donné que je suis de nature à trop compliquer ce qui est en fait très simple, j'ai du faire 2 ou 3 pages de calculs, contre... 1 ligne !
  
La question a bien entendu une solution et ce qui diront l'inverse auront sûrement pensé "Nous n'avons pas la distance entre le centre du cercle et les centre des autres cercles". Cette affirmation est fausse dans la mesure où le fait que l'on déplace les disques entraîne le changement des deux aires G et V. J'ai donc considéré que les cercles étaient tangeants et que l'aire blanche sur la figure de l'énigme vaudrait dans ce cas 0.

Ainsi, L'aire G sera égale à et l'aire V égale à soit ... D'où G = V

Donc le rapport vaut 1

Et là, plus besoin de faire une figure...

Encore merci pour l'enigme

A titre d'indication,

Bcracker

Ma réponse est: le rapport G/V vaut 1 ...

explications:
en appelant G l'aire grise, V l'aire verte et B l'aire blanche,
G = *3² - B = 9 - B
V = 2*(*2²) + *1² - B = 9 - B
Donc le rapport G/V vaut 1

voili voilo !
A+

Bonjour à tous,

Voici ma réponse:= 1.

Bonnes fêtes de fin d'année à tous les membres.

atomium.

Le rapport vaut la figure de la souris sur la bouche et les oreilles de la souris.

                                

c'est pas possible, faudrait connaitre le centre des cercles à chaques fois

G/V=1

Soit S1 la surface des deux oreilles et de la bouche.(les disques complets)
Soit S2 la surface de la tête.(le disque complet)
Soit B la surface blanche.
S1 = 2 x 2² x pi + pi = 9pi
S2 = 3² x pi = 9pi
ainsi 0<B<9pi
Conclusion : G/V = (9pi - B)/ (9pi-B) =1
G/V = 1

Bonsoir!!!
Voici ma réponse:
Soit R² pour calculer l'aire des cercles, R représentant leurs rayons.
G = 9- B, B désignant l'aire peinte en blanc.
V = 8 + + B = 9 - B
donc G/V = (9 - B)/(9- B) = 1

Bonjour,

Si le rapport est constant qque soit la place des cercles, prenons le cas
particulier où les 3 cercles verts sont tangents au gris:
on trouve G/V = 1
J'ai pris 2, 3 autres cas et j'obtiens la même chose ; bon, ce n'est pas une
démonstration mathématique mais G/V=1

BABA

les données ne sont pas suffisantes ppour trouver la reponse

(En supposant que les petits cercles n'ont pas d'intersection )



Donc soit

L aire  du grand cercle est égale a la somme des trois petits cercle  :


pi*6^2 = 36 pi

2*pi*4^2 + pi*2^2 = 36 pi

Donc quelque soit la valeur de l aire blanche le rapport G/V est égal à 1 .

Soit Rt le rayon de la tête : Rt = 3cm
Soit Ro le rayon des oreilles : Ro = 2cm
soit Rb le rayon de la bouche : Rb = 1cm

J'appelle B l'aire de la partie blanche.

on a : V + B = 2.pi.Ro² + pi.Rb² (1)
on a : G + B = pi.Rt² (2)

En soustrayant ces deux expressions, on obtient :

V - G = 2.pi.Ro² + pi.Rb² - pi.Rt² = 2.pi.4 + pi.1 - pi.9 = 9.pi - 9.pi = 0

Donc V = G
Donc le rapport G/V ou V/G = 1

Même aire pour les deux surfaces.

Merci pour l'énigme

C'est original, la reponse est 1.

Faut-il justifier ? Si oui alors 6^2 = 2*4^2 + 2^2

et ce qu'on enleve a la surface grise on l'enleve aussi a la surface verte donc le rapport reste inchange puisque le numerateur et le denominateur restent egaux  a

36-a*32-b*4

avec a le coefficient multiplicateur de la portion des oreilles enlevee et b celui de la portion de bouche enlevee

en esperant avoir ete clair

PROBLEME IMPOSSIBLE

on note B l'aire en blanc :
on a G+B = pi*36
de plus V+B = pi*(16 + 16 + 4) = pi * 36
on soustrait les deux inégalités : G-V = 0
donc G=V et

G/V = 1

G/V = 1

rapport = 1

bonjour,

D'après les données numériques, si on appelle B l'aire en blanc on a:
G+B = V+B = 9* cm²
donc G = V
finalement, G/V = 1

A+!

le rapport vaut 1 !!! enfin j'espere...

Enigme clôturée.

  G= 9 Pi- (f+c+d)               9Pi= surface du cercle de diametre9                     Pi=3.14
  

V= (4Pi+4PI+Pi)-(c+d+f)=9Pi - (c+d+f)

        4Pi surface du cercle de diametre 4
        Pi  surface du  cercle de  diametre 2
        c, d et f  surfaces intersection
        


           G/V= 1


                            
                              

Bonjour,

je réécris ce qui est noyé dans les réponses :

Il aurait été possible de donner plus d'étoiles à cette énigme en demandant les rayons (diamètres) entiers possibles pour les trois cercles, soit résoudre, dans N, :

x²+2y²=z² (1)

J'ai trouvé une autre solution que x=k, y=2k et z=3k :

x=7p y=4p et z=9p

Comment faire pour trouver TOUTES les solutions à (1) ?

Merci à ceux qui pourront "vulgariser" la réponse à cette question qui doit toucher à la théorie de l'arithmétique.

Merci

Philoux

Bonjour Philou,

résoudre des équations diophantiennes n'a rien de trivial ! il faut reconnaître que poser l'énigme sous cette forme la rend d'un tout autre niveau de difficulté.
Mais la question est intéressante, peux être faut il chercher une méthode comparable a celle utilisé pour trouver les triplets de phytagore.
En tous cas fait nous savoir si tu as des propositions de solutions pour ce problème.

Youpi : si je pose la question c'est que, malheureusement, ça dépasse mes compétences et que je ne sais pas y répondre

En revanche, si des biondo ou piepalm (dont je me rappelle des démos diophantiennes) ont un moyen pour la vulgariser, je suis, comme toi, preneur

Merci à eux (ou à d'autres d'ailleurs !)

Philoux

Re-bonsoir Philoux

J'ai trouvé que l'ensemble des solutions pouvaient s'obtenir en choisissant deux entiers naturels u et v et les triplets solutions sont alors :
x=2u²-v²
y=2uv
z=2u²+v²

voici quelques exemples de triplets solutions : (17,6,19);(23,24,41) ....

Moi, j'ai fait ça de manière pifométrique, comme d'habitude. J'ai d'abord mis les yeux et la bouche hors de la tête, et j'ai trouvé 1. Puis j'ai mis les yeux et la bouche à moitié dans la tête et j'ai encore trouvé 1. Donc j'ai répondu 1... y avait pas de raison pour que ce soit faux

Merci Youpi (20:18) pour cette solution; avec u=2 et v=1, je retrouve en effet le triplet que j'avais trouvé pifométriquement.

Saurais-tu me donner un lien, ou développer en retour, pour expliciter la forme générale de tes solutions ?

Merci

Philoux

x²+2y²=z donc 2y²=z²-x²=(z-x)(z+x)
On peut supposer x, y et z premiers entre eux, quitte à tout diviser par leur pgcd...
z-x ou z+x est pair, donc les deux le sont (puisque z+x=z-x+2x), et ils ne peuvent avoir d'autres facteurs que 2 en commun; on a donc
z-x=2u² et z+x=4v² donc x=2v²-u², y=2uv, z=2v²+u²
ou z-x=4u² et z+x=2v² donc x=v²-2u², y=2uv, z=v²+2u² (ce qui est la même chose au signe près)
Enfin, la solution générale est obtenue avec des triplets multiples des précédents...

merci piepalm

en lisant ta démo, je bute sur le "donc" de :

"...et ils ne peuvent avoir d'autres facteurs que 2 en commun; on a donc
z-x=2u² et z+x=4v² donc x=2v²-u², y=2uv, z=2v²+u²..."

peux-tu développer un peu plus en ajoutant les lignes qui te sont évidentes (j'aurais écris z-x=2p ?)

merci

Philoux