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Niveau Licence Maths 1e ann
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DSE en 0

Posté par
astroq123
20-02-17 à 19:35

Bonsoir, quelqu'un peut m'aider svp je cherche le DSE en 0 de la fonction: e^{sin(x)}

Merci d'avance

Posté par
carpediem
re : DSE en 0 20-02-17 à 19:45

salut

puisque sin 0 = 0

dse de sin en 0
dse de exp en 0

puis composition ...

Posté par
jeanseb
re : DSE en 0 20-02-17 à 20:11

Bonjour

A quel ordre, le dl?

Posté par
etniopal
re : DSE en 0 20-02-17 à 20:23

Il n'y a pas de formule .

   Soient  A  une série formelle de la forme A =    a1X + a2X² + ....+ anXn + ...
et B une une série formelle  b0  + b1X + b2X² + ....+ bnXn + ...
(les ak et bk étant dans un anneau commutatif )

On peut forme   les  Ap pour p = 2 , 3 , ...

A² =   a2,2X² + a2,3X3 + ....+ a2,nXn + ...
A3 =                 a3,3X3 + a3,4X4 + ....+ a3,nXn + ...

On pose alors c0 = b0  
c1 = b1a1
c2 = b1a2 +  b2a2,2
c3 = b1a3 +  b2a3,2 +  b3a3,3
.....

La série formelle cn Xn est notée B o A ou B(A) .

Dans le cas où A  et B sont dans [[X]]    on montre que si  |z| < R(B)  et  |B(z)| < R(A) on a |z| < R(A o B) et  AoB(z) = A(B(z))  

Posté par
astroq123
re : DSE en 0 20-02-17 à 20:46

Ce n'est pas un DL jeanseb
La on a une des series entiere

e^{sin(x)}=\sum_{n\geq 0}^{}{\frac{sin^n(x)}{n!}}

Avec:
sin(x)=\sum_{n\geq 0}^{}{\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}}

Donc:

e^{sin(x)}=\sum_{n\geq 0}^{}{\frac{1}{n!}\left(\sum_{k\geq 0}^{}{\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}} \right)^n}

Comment continuer??

Posté par
jeanseb
re : DSE en 0 20-02-17 à 20:51

Mal lu, excuse...

Posté par
carpediem
re : DSE en 0 21-02-17 à 09:32

Citation :
Comment continuer??
calculer à la main les premiers termes dont etniopal donne la formule ... puis essayer de déterminer une formule générale ...

ou alors puisque f(x) = exp (sin x) est Coo calculer les dérivée successives de f ...

Posté par
jeanseb
re : DSE en 0 21-02-17 à 12:38

J'ai calculé les 6 premiers termes:

e^{sin(x)}=1+ x+\dfrac{x²}{2}-\dfrac{x^4}{8}-\dfrac{x^5}{15}+\dfrac{13x^6}{720}+ ...

sauf erreur.

La formule générale n'apparaît pas d'emblée.

Posté par
Glapion Moderateur
re : DSE en 0 21-02-17 à 12:53

le 13x6/720 est faux

f(x) = 1 + x + x^2/2 - x^4/8 - x^5/15 - x^6/240 + x^7/90 +  31 x^8 /5760 + x^9/5670 -  2951 x^{10} /3628800 + o(x^{11})

Posté par
jeanseb
re : DSE en 0 21-02-17 à 13:06

Exact! Un 1/2 oublié.



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