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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Dualité L^p

Posté par
tomsoyer
10-05-21 à 11:30

Bonjour,

Faisant un exercice, je ne parviens pas à comprendre le corrigé associé.

Soient X:=\{a,b\} et \mu la mesure sur (X,P(X)) définie par \mu(\{a\}):=1 et \mu(\{b\}):=+\infty ( donc \mu(x)=+\infty).
Caractériser L^{\infty}(\mu) et le dual de L^1(\mu) puis conclure.

Si f \in L^{\infty}_{\mathbb{K}}, alors \mid f(a) \mid < \infty et\mid f(b) \mid < \infty. Donc, L^{\infty}(\mu) est isomorphe à \mathbb{K}^2.
Si f \in L^1(\mu) alors \mu(\{a\})\mid f(a)\mid+\mu(\{b\})\mid f(b)\mid < \infty, ce qui implique de f(b)=0. Soit maintenant \phi \in (L^1(\mu))', alors pour tout f \in {L^1}_{\mathbb{K}(\mu), on a \phi(f)=\lambda f(\{a\}), et donc (L^1(\mu))' est isomorphe à \mathbb{K}. Donc L^{\infty}(\mu) ne peut pas être isomorphe à (L^1(\mu))'. Cela ne contredit pas le théorème de dualité car \mu
n'est pas \sigma-finie.

En effet, comprenez-vous pourquoi L^{\infty}(\mu) est isomorphe à \mathbb{K}^2 et  (L^1(\mu))' est isomorphe à \mathbb{K} ? De plus qu'est-ce que  (L^1(\mu))' ?

Posté par
GBZM
re : Dualité L^p 10-05-21 à 12:12

Bonjour,

Toute fonction X\to \K est mesurable et bornée, donc L_{\K}^\infty est l'espace de toutes les fonctions X\to \K. Et comme X a deux éléments ..
As-tu compris pourquoi L_{\K}^1(\mu) est isomorphe à \K, avec la norme standard ? Quel est l'espace des formes linéaires continues sur \K ?

Posté par
tomsoyer
re : Dualité L^p 10-05-21 à 20:57

Monsieur GBZM,

Merci, merci pour votre aide si grandement appréciée depuis si longtemps.
Aussi, veuillez me pardonner de mon temps de réponse.

Je dois vous avouer que je ne suis pas sûr de la réponse à la question : quel est l'espace des formes linéaires continues sur \mathbb{K} ?
De même, concernant le fait que nous puissions définir \phi par \phi=\lambda f(\{a\})
En effet, il me semble qu'il y a un lien avec le théorème de Riez-Fisher. Cependant, je ne suis pas sûr du produit scalaire que nous utilisons.

Enfin, permettez-moi que je vous souhaites un très bonne fin de journée.

Très respectueusement,

Posté par
GBZM
re : Dualité L^p 10-05-21 à 21:06

Il n'y a aucun produit scalaire dans l'histoire.
Et en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et toutes les formes linéaires continues.

Posté par
tomsoyer
re : Dualité L^p 10-05-21 à 21:20

Finalement, tout s'éclairci.

Merci !



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