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écart multiple de 3
Bonsoir
Je vous propose l'exercice suivant : On considère un entier naturel n ≥ 1. On choisit deux entiers x et y indépendamment et uniformément au hasard dans l'ensemble {1, 2, ..., n}.
On cherche à déterminer le nombre de couples ordonnés (x, y) tels que |x − y| soit un multiple de 3. Autrement dit, on veut compter le nombre de couples (x, y) vérifiant |x − y| = 3k, pour un certain entier k ≥ 0.
Donnez une expression du nombre de tels couples en fonction de n.
y modulo 3 est q(n+r)-n.
Bonjour,
il y a plusieurs formules pour le nombre de couples.
Celle de verdurin fait intervenir n, q et r (pour n=3q+r).
Il y en a une qui ne fait intervenir que n et q :
Cliquez pour afficherUne qui ne fait intervenir que n et r :
Cliquez pour afficherOn en déduit la formule la plus simple (qui ne fait intervenir que n) :
Cliquez pour afficherJe me suis trompé pour la dernière formule, ce n'est pas la partie entière inférieure mais la partie entière entière supérieure.
On peut aussi l'écrire sans partie entière :
Cliquez pour afficherBonjour a tous et bravo , de mon côté j'ai trouvé cette expression : n +2.
(n-3k) , pour k allant de 1 a E((n-1)/3) ou E est la partie entière.
Bonsoir flight.
On peut remarquer que tu fais la somme d'une suite arithmétique finie. Il y a une formule bien connue qui la donne.
Bonsoir,
je suis passé par l'expression de flight pour obtenir mes formules.
La formule en fonction de n seulement que j'ai donnée ne se généralise pas à des valeurs plus grandes que 3.
En revanche la formule en fonction de n et r se généralise très bien.
Pour entier naturel non nul et
avec
le nombre de couples
qui vérifient
est égal à :
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