échange de balle

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échange de balle
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flight  23-10-22 à 16:36
Bonjour 

trois personnes A , B et C s'amusent à s'echanger une balle mais en suivant cette regle  

si A possède la balle , il peut la donner à B avec une proba de 3/4

sinon a C avec une proba de 1/4.

si B possède la balle , il peut la donner à A avec une proba de 5/6

sinon a C avec une proba de 1/6.

si C possède la balle , il peut la donner à A avec une proba de 2/3

sinon a B avec une proba de 1/3.

Au depart A possède la balle , Apres 1000 passes de balle ,

combien de fois en moyenne chacun aura t il recu la balle ?
 Posté par 
Ulmierere : échange de balle  23-10-22 à 17:08
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Une belle chaine de Markov à espace d'états finis, donc récurrente positive.

On écrit la matrice de transition .

On cherche une mesure invariante en résolvant  et on la normalise pour trouver l'unique probabilité invariante.

Ensuite on utilise le théorème ergodique avec la fonction indicatrice d'un état, appliqué au processus arrêté au temps d'arrêt constant égal à 1000, qui est également markovien (propriété de Markov)
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dpire : échange de balle  23-10-22 à 17:30
Bonsoir,

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je trouve environ  541 fois A  314 fois B et 155
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Imodre : échange de balle  23-10-22 à 18:51
Bonjour à tous

Ulmiere m'ôte les mots de la bouche , j'allais dire la même chose 

Imod
 Posté par 
flightre : échange de balle  23-10-22 à 19:20
salut dpi ... hélas l'approximation est mauvaise 
 Posté par 
alb12re : échange de balle  23-10-22 à 20:35
salut, 

Fiat lux et facta est lux . 

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[438.7,387.1,174.2]
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dpire : échange de balle  24-10-22 à 12:34
>Imod

En lisant le texte d'Ulmiere  je comprends mieux ce que tu veux dire:o
 Posté par 
Ulmierere : échange de balle  24-10-22 à 17:22
Je vois que mes interventions déplaisent à certaines mauvaises langues, bien que tout à fait appropriées à l'exercice. Histoire de bien les faire chier, je continue

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On cherche le noyau que .  est de polynôme caractéristique , scindé simple dans , donc diagonalisable. Le vecteur propre associé à la valeur propre 0 est contrairement aux deux autres, assez facile à calculer : .

On le normalise et on en déduit la probabilité invariante .

Le nombre empirique de visites à chaque état après 1000 itérations est donné par .

Comme disait alb12 
 Posté par 
Imodre : échange de balle  24-10-22 à 17:39
Il ne faut pas mal prendre un simple trait d'humour 

Disons que l'exercice aurait mieux trouvé sa place dans le forum supérieur .

Imod
 Posté par 
alb12re : échange de balle  24-10-22 à 17:59
on n'est pas obligé de suivre la methode lumineuse de Ulmiere 
 Posté par 
Imodre : échange de balle  24-10-22 à 18:06
Pourquoi pas mais comment ( sans passer par une simulation informatique ) ?

Imod
 Posté par 
alb12re : échange de balle  24-10-22 à 18:59
telle que posée par flight, la question autorise l'utilisation d'un programme. 

Ou peut aussi chercher la puissance de la matrice avec une calculatrice. 
 Posté par 
Imodre : échange de balle  24-10-22 à 19:26
Il n'y a pas de problème , je suis simplement resté bêtement papier-crayon .

 C'est ma détente mais à chacun ses plaisirs 

Imod
  Posté par 
dpire : échange de balle  25-10-22 à 08:46
>Ulmiere

En mettant   j'exprimais mon admiration pour ta solution et en

même temps je goutais l'humour de Imod