rectificatif : lire  "jusqu'a ce que le joueur A se retrouve sans boule noire

Dommage ta première version était humoristique ...jamais

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Dans ta deuxième ,tout dépend de la couleur du premier tirage,
Si A donne la noire à B et que B la lui rend le coup est nul ,mais si B lui donne une rouge   A est sans boule noire.

Je dirai donc en deux coups en moyenne

salut

si u_n et v_n désignent le nombres de boules noires détenues par A et B après le n-ième échange alors :

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Pour que tout le monde comprenne l'énoncé de la même façon...
Tu dis au bout de combien d'échanges.
Donc on regarde la situation uniquement quand A a 2 boules dans les mains.
On ne regarde pas la situation quand A vient de donner une boule, et n'en a qu'une dans les mains.
Autre convention sur laquelle il pourrait y avoir ambiguïté :
A donne une boule et en reçoit une, éventuellement la même. C'est compté comme 1 échange, pas comme 2 échanges.
Un échange, c'est donc un aller/retour complet.

ty59847 : j'ai effectivement le même pb de compréhension ...

dans ma réponse j'ai supposé que A et B s'échangent mutuellement et en même temps une boule parmi les deux qu'ils possèdent chacun (sans préjugé de l'exactitude de ma réponse bien sûr !! )

Bonjour a tous .....  1 échange = A donne une bouel  à B et B donne une boule  à A  puis chacun fait un etat de ce qu'il possède ...(je pensais pas que ce serait dur à comprendre )

Bonjour,

si désigne le nombre d'échanges effectués pour arriver à la situation où A a les deux boules rouges, la loi de est donnée par :

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en notant la suite de Fibonacci ()

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Comme je l'observais plus  haut:
Au départ

A    NR  ET B NR
B donne une noire  à A qui la lui rend --> coup nul  2chances sur 3
                                               A qui lui donne une rouge   B privé de noire.
B donne une rouge  à  A qui la lui rend -->coup nul  2 chance sur 3
                                                 A qui lui donne  une noire et se retrouve sans
Comme la probabilité de départ est 0.5
Les cas privés de noires sont 0.5 (1/3)+0.5(1/3) =1/3
mais une fois encore ,je suis nul dans ce genre.

Bonjour jandri une simulation informatique de ce jeu me donne E = 7,5

comment avez vous obtenu E = 5 ?

Bonjour flight,

j'ai d'abord calculé pour en distinguant deux cas pour le premier échange :

soit le premier échange ne change rien (probabilité 1/2)
soit le premier échange fait passer à deux noires pour A et deux rouges pour B (probabilité 1/4), l'échange suivant faisant nécessairement revenir au point de départ.

On en déduit .

Avec et on en déduit .

Le calcul de s'en déduit.

Expérience:
j'ai joué avec 4 cartes et sur 14 coups , 4 fois un des paquets a été privé de noires dont  A  3 fois
Il faudrait plus de coups mais  on a une idée
3/14=  21 %

Par un calcul ( et non une simulation), j'arrive au résultat de Flight, 7.5

Partant d'une situation, avec n boules noires dans les mains de A, on arrive à une autre situation , avec m boules noires dans les mains de A.
Et on a une matrice de passage, qui donne les différentes probabilités.
Si n=0, alors au tour suivant, forcément m=0, parce que c'est la situation 'partie finie'
Si n=1 , on peut avoir m=0,1 ou 2, avec des probas 1/6,2/3 et1/6
Et si n=2, on peut avoir m=1 ou2 avec des probas 2/3 et 1/3
On a donc une matrice.
On calcule les puissances successives de cette matrice.
On mélange tout ça, on ajoute un peu d'épices, et on arrive à 7.5

Si on part de la situation où A a 2 boules noires, il faut en moyenne 9 échanges.

Merci ty59847 pour ton éclaircissement, tu m'as fait comprendre pourquoi je n'obtiens pas la même espérance que flight et toi.

Pour moi, un échange c'est : A donne une boule à B et simultanément B donne une boule à A.

Pour vous deux, A donne d'abord une boule à B qui en possède donc trois, puis B redonne une boule à A.

C'est après ces deux étapes que A et B se retrouvent avec deux boules.

J'ai choisi la première interprétation car A et B ont des rôles symétriques, ce qui n'est pas le cas de la seconde.

Evidemment la loi de et son espérance ne sont pas les mêmes dans les deux interprétations.

je suis toujours entrain de me demander pourquoi jandri a commencer à n 3 ?
je pose ici ma solution :
ma demarche a été de m'inspirer des "marches aleatoires"
si je note X le nombre de boules blanches que A possède à la fin de chaque echange  alors  X peut prendre les valeurs 0,1 ou 2 , puis j'ai realisé un graphe probabiliste  des etats de l'urne du joueur "A" apres la fin des échanges .
j'obtiens la matrice d'etat suivante :  en notant  "an" la proba pour A d'avoir  0 boule blanche , en notant  "bn" la proba pour A d'avoir 1 boule blanche et  "cn" la proba pour A d'avoir  2 boules blanches.
en pssant le detail des calculs  ( diagonalisation de la matrice obtenue)   et en considerant la matrice d'etat initiale de l'urne de "A" qui est ( 0 ,1, 0)   car à l'etat initiale A possède une boule blanche
j'obtiens  Cn= -(1/6).(-1/2)ⁿ+ 1/6  et le calcul de  C₃  me donne  3/16

sauf erreur de calcul ....

@Jandri
Avec tes hypothèses, la matrice devient :
1 ; 0 ; 0
1/4 ; 1/2 ; 1/4
0 ; 1 ; 0
Et je trouve bien 5 comme toi.

flight :

je ne commence pas à , c'est ma relation de récurrence qui est valable pour .

J'ai calculé à part les probabilités pour et .

Avec l'interprétation de flight et ty59847 (échange en deux temps) je trouve :

comme relation de récurrence pour .

D'où (suite de Fibonacci)

et .