Bonjour

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je ne sais pas si c'est optimal, mais une stratégie naïve et bon marché consiste à placer les pions par deux, chaque paire recouvrant un rectangle de 3x4

On peut donc pour n=12k obtenir une stratégie à 24k^2 pions

Ce qui donne pour un échiquier 12x12 :

Bonjour zormuche,
Bravo, pas mieux que toi dans les cas de figures que tu décris mais... il reste les cas de figures que tu ne décris pas. En tout cas ton dessin est superbe, moi je fais plutôt des gros pâtés sur un quadrillage

Bonsoir,
je tente une réponse  générale.

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On fait la division de n² par 12 :
n²=12q+r.

Si r=1 il faut 2q+1 pions.
Si r=4 ou r=9 il faut 2q+2 pions.
Si r=0 et n multiple de 12 il faut 2q pions.
Si r=0 et n non multiple de 12 il faut 2(q+1) pions.

Je ne sais pas verdurin, peut-être mais dans ce cas je ne sais pas faire.
J'ai vérifié pour les premières valeurs et ça part plutôt bien mais j'ai rapidement un problème, tu me dis que si n=9 alors tu peux faire avec 14 pions, peux tu me montrer comment ?

Effectivement je trouve que pour n=9 il faut au moins 15 pions.
Je devrais arrêter d'écrire des bêtises.

Au passage ce que j'ai écrit pour les multiples impairs de 6 est également faux.

Bonjour,
juste pour être sûr de la question, il ne s'agit pas vraiment d'avoir une case en diagonale d'occupée, il faut prendre en compte le sens des pions? Sinon, on peut faire mieux pour le schéma de Zormuche.

Bonjour,
Je n'ai pas compris, il faut que pour chaque case de l'échiquier, au moins une des 8 cases qui l'entoure soit occupée par un pion.
Les pions n'ont pas de sens ou en tout cas, je ne vois pas ce que ça veut dire, propose ton idée, on verra bien.

Et bien en reprenant le 12x12 de Zormuche, j'aurais alors dit que chaque pion recouvre 9 cases, et j'aurais mis comme lui des lignes de 4 pions mais pas en lignes 2;3;6;7;10;11 mais en lignes 2;5;8;11 et donc avec 16 pions au lieu de 24

Euh non, un pion ne recouvre pas vraiment 9 cases car la case où se trouve le pion, elle a qui comme voisin si tu ne mets rien autour ? Personne donc ça ne va pas.

Par exemple même pour un carré 2x2 il faut au moins 2 pions, c'est du gâchis mais c'est le jeu.

Ok je viens de comprendre. On n'est pas adjacent à soi-meme

Pour n10 le résultat dépend de la manière dont on peut écrire n sous la forme 3a+4b avec a et b entiers.
C'est de cette idée que venait mon résultat précédent, mais j'avais oublié de nombreux détails.

Pour les valeurs de 2 à 10 je trouve

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    n  2   3   4   5   6   7   8   9  10
pions  2   2   4   5   8   9  12  15  18

Pas mieux donc bravo

Et une majoration ( atteinte ) du nombre maximum de pions nécessaire.
Pour  un carré de côté n il faut au plus pions.

Mais... mais... il me semblait qu'on était d'accord que pour n=9 il fallait 15 pions et voilà que tu me proposes une formule avec au plus 11 pions, ça m'étonnerait que ça passe.

Je vais tenter d'arrêter d'écrire des bêtises.

Le nombre minimum de pions pour remplir un échiquier est inférieur ou égal à : .

Plus précisément on peut trouver une disposition convenable en utilisant pions, avec

On remarque avecZormuche que si n est un multiple de 12 il suffit de 2\frac{n^2}{12} pions on a donc k=0.

La formule est bonne pour 2n9 par vérification expérimentale.

Un rectangle 34 est recouvert par deux pions.

On va recouvrir au maximum les échiquiers par des rectangles de ce type.
Tous les entiers plus grands que 10 ( sauf 12, mais ce n'est pas gênant ) peuvent s'écrire sous la forme avec .

On place quatre rectangles de côté 3a et 4b dans le carré pour obtenir un carré plus petit au centre.
Exemple :


Si on choisit a et b pour que soit minimum on obtient un carré intérieur de côté inférieur à 9.

Ce qui permet de conclure.

Je me demande quand même si on ne peut pas faire mieux pour des carrés assez grands.

Joli verdurin, je vais rester sur ton résultat.
En fait, on peut faire mieux je pense mais c'est galère à écrire, exemple pour (la réponse à tout il parait) avec pions si je ne me suis pas loupée dans mon décompte alors que pions.

On sabote complétement la bordure du carré mais comme l'intérieur est mieux optimisé, dès que n augmente, ça devient plus rentable.

PS : j'avais prévenu que j'étais plus du genre à faire des gros patés sur un quadrillage

Bravo !
je n'avais pas vu le pavage du plan par les paires diagonales.

En conclusion on peut dire que le nombre de pions utilisés est asymptotiquement équivalent à n²/14.

Bonjour verdurin,
Je pense que tu voulais plutôt dire puisqu'on a besoin de 2 pions pour recouvrir 14 cases.

Je suis maudit sur ce fil.
Je fais des erreurs, mais là c'est vraiment beaucoup.