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Ecriture binaire en décimal
Pour rebondir sur l'énigme de dpi 
Premiers palindromes 
Je pose la conjecture suivante :
Pour tout n naturel, il existe un m composé uniquement des chiffres 0 et 1 en base 10 tel que m est multiple de n
Quelques exemple :
n x d = m
1 x 1 = 1
2 x 5 = 10
3 x 37 = 111
9 x 12345679 = 111111111
17 x 635 = 111011) Quel est le plus petit m pour n=2018?
2) Quel est le plus petit m pour n=792?
3) Trouver m pour n
{1,12,123,1234,12345,...} (note : pour l'instant j'ai les solutions jusque 12345678. 123456789 me demande trop de mémoire).
4) Démontrer la conjecture ou trouver un contre-exemple
Je me rends compte que le 1) n'est déjà pas très facile donc j'ajoute :
0) Quel est le plus petit m pour n=12?
Et pour 3) j'ai trouvé m pour n=123456789, je bloque à 12345678910 maintenant ^^.
@Imod
Cliquez pour afficherBonsoir,
J'ai voulu voir par sondage si tous les m =nd convenaient en oubliant ceux qui se terminent par 0.
1001 =7x143 , 1011=3x337,1101=3x367 ,1111=11x101 ,10001=73x137 ,10101 =3x3367 , 11111 =41x271 , 110101 =23x4787
1111111 =239 x 4649 etc.. je n'ai rencontré aucune impossibilité (what else)...,
La conjecture est due au fait que tout nombre non premier est décomposable 
Par contre le dernier exemple montre qu'il faut chercher loin un n et un d.
Bravo à dpi et veleda. Vos premier résultats sont justes.
Comme vous l'avez remarqué si vérifier tous les multiples marche pour les premiers exemples, ça devient vite impossible.
En effet, avec cette méthode 12345 est 1000x plus difficile que 12, 123 est 100x plus difficile que 12345, 2018 est 600x plus difficile que 123 et 792 est le pire : 3000000x plus difficile que 2018
Il faut trouver une autre méthode 
.
Suite,
La conjecture est fondée tout n aura son m.
Comme je l'ai dit,il faudra aller très loin...
Pour 2018 (que je m'escrime à chercher),je sélectionne d tel que:
*terminaison obligatoire 0 ou 5
*début compris entre 49554.....et 55061.
*autres conseils souhaités
@dpi
Si je te dis que pour 2018 je trouve la réponse en faisant 1593 tests/calculs. C'est quasi instantané. En fait je n'utilise pas du tout d .
Pour ce qui est de la conjecture, ce n'est pas parce que tous les nombres écrits uniquement avec des '0' et '1' sont composés (ce qui est faux, 11 111 111 111 111 111 111 111 est premier ) que chaque n a un multiple de cette forme. La démonstration que je connais est basée sur le principe des tiroirs
Suite,
Pour 792 d doit être testé après 12 626 262 625 rien avant ...
par tranche de 25 et jusqu'à 14 029 180 700 donc vite un programmeur ...
si rien multiplier les tranches par 10.Pour moi stop.
>Littlefox
J'ai bien sûr exclus les premiers comme je l'ai fait remarquer le 29 à 19h16
Cliquez pour afficher>veleda
Merci , donc Littlefox va nous dire si m à18ou36 ou72 chiffres....
Pour 18 ,je peux trouver ,pour plus ????
Autres conseils toujours souhaités
Suite,
J'ai essayé de comparer l'écriture de n et de b en binaire ainsi que le résultat de m,
je n'ai rien trouvé de significatif.
le binaire dans le titre c'est juste parce qu'on écrit avec des '0' et des '1'. La vrai écriture binaire est une fausse piste
m(2018) a 15 chiffres
m(792) a 21 chiffres (dpi on ne connait pas le nombre de '0')
On peut montrer que la solution a moins de n chiffres. Et en regardant les résultats on voit que pour un n composé de x chiffres, le maximum est donné pour x '9', m(n) étant composé de 9x '1'.
Premier indice
Cliquez pour afficherDeuxième indice
Cliquez pour afficherJe vais avoir du mal à donner un troisième indice sans donner la solution
.
A vous maintenant
.Merci,
Je n'ai pas utilisé tes deux indices ,mais l 'indication du nombre de chiffres....
Cliquez pour afficher@dpi Pas loin mais ta réponse est fausse, probablement une erreur d'arrondi.
2018 x 49 554 509 415 = 100000999999470
Oui 
Ce maudit Excel me donne "vrai" alors qu'i sait très bien qu'il me donne un chiffre
faux par abus d'arrondi
Non ,j'ai fait mathsup en 1961 et je n'ai jamais programmé ,mais dans une autre vie ,
je te promets.
Par contre ,je me suis bricolé un multiplicateur...
Cliquez pour afficher
@dpi, ma réponse est très similaire, juste exactement 1000x plus petite Je ne sais pas d'où tu sors ce facteur 1000
Simple...
J'avais cru voir 2018 18 chiffres au lieu de 15 et c'est normal
que le facteur 1000 marche .J'aurais trouvé au moins deux fois plus vite...
Par contre pour 792 avec 21 chiffre,je vais ramer.
Cliquez pour afficher
Je viens d'implémenter ma méthode sur Excel, ça marche. Mais se faisant je me demande si ça ne serait même pas plus facile à la main pour 792
En fait, si. C'est tellement simple à la main 
.
j e suis resté sur les d et comme ils ont 18 chiffres Excel me bloque,
le seul coup de pouce que je demande c'est de me donner les 3 derniers et demain
matin je répondrai
Bon week end
De toute façon la réponse était 125 ou 625
Je dois arrêter la force brute car entre 126 262 626 263 ??? 125 et 140 291 806 958 625
c'est chaud...
Petite remarque ,les terminaisons sont espacées par tranche de500, 5000 , 50000 ,50000 etc...
Bonjour,
Je rentre et découvre ce topic mais ne suis pas sûr d'avoir bien compris.
Cliquez pour afficherBravo à littleguy qui m'devancé,
Comme Excel ne traite que 15 chiffres, je me suis bricolé un bidule en modulo n
en jouant sur les décimales.
Je le garde précieusement pour d'autres cas....
> LittleFox
Pour 792 comme veleda, et ça va très vite.
Pour 123456789, c'est un vieux souvenir d'école ou le maître nous avait demandé de multiplier ce nombre par 1 puis par 2, par 3, jusqu'à 20 je crois, de bien observer les résultats et de dire ce qu'on remarquait de particulier. Et je me souvenais du fois 9.
Bref, pas beaucoup de mérite...
Je chercherai demain pour 12345678.
Bonsoir,
je sais faire si m possède au plus 21 chiffres....Au delà il faut que je reformate mon bidule.
Pouvez vous m'indiquer ce nombre de chiffres
Incorrect :
12345678 x 900000064800005403591445 = 11111111000000001111000023524710
Il faut que tu travailles avec des entiers et des modulos pour éviter les erreurs d'arrondis.
Pour chercher avec quelques chances de réussite,tu serais aimable de me dire
combien de chiffres je dois avoir pour m
m(12345678) a moins de 32 chiffres .
m(9999) par contre a 36 chiffres mais est plus facile à calculer.
Le nombre de chiffres de m n'est pas le seul facteur qui limite le temps de calcul.
Note que m(12345678) est difficilement calculable sur Excel même en utilisant ma technique.
Bonjour,
J'ai pensé à combiner deux diviseurs de 12345678
par exemple 29486 x 423 en cherchant leur m
m=d x29486 et m' =d'x423 puis de faire dd' x12345678
Je m'en vais 4 jours wait and see ...........
En utilisant mon bidule,j'ai trouvé des particularités...
*les multiples de 99
99 x 1 122 334 455 667 790 = 111111111111111
198 x 5 611 672 278 338 945 = 1 111 111 111 111 111 110
297 396 495 594 693 792 891 990 etc...
* à noter 999 x 111 222 333 444 555 666 777 889= 111 111 111 111 111 111 111 111 111
malgrè tous mes efforts par manque de décimales je bloque sur 12345678
Oui, comme j'ai dit plus haut, j'ai observé (pas prouvé) que les nombres n composés de x '9' ont les m les plus grand pour les n à x chiffres. Et ce m est le nombre composé de 9x '1'.
Leurs multiples sont aussi des nombres à record. Ce qui donne la série :
Je vais te montrer comment je calcule mes m avec un exemple, n=7 :
Si m = abc alors abc % 7 = a*100+b*10+c % 7 = a*100%7 + b*10%7 + c%7 = a*2+b*3 + c = 0. a (et b et c) est soit 0, soit 1. Donc pour chaque puissance de 10 j'ai le choix d'ajouter son modulo ou pas et dès qu'on arrive à 0 on a la solution. Les puissances de 10 modulo 7 peuvent être calculées de proche en proche de façon à ne jamais utiliser de nombre dépassant 10n.
Ce qui donne :
i 0 1 2 3
10^i%7 1 3 2 6
reste
0 *6+1*
1 1 - - -
2 2 -
3 3 - -
4 3+1 - -
5 3+2 -
6 4+2 -Donc on sait que 0 = 10^3 + 1 = 10^3+10^0 = 1001 (modulo 7).
On peut tout à fait faire la même chose avec 12345678, c'est juste que le tableau a 12345678 lignes... Mais il n'y aura pas de problème d'arrondi.
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