Niveau terminale

Ecriture complexe::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Posté par
H_aldnoer 26-01-05 à 20:19

slt a tous voila lexo ke je narrive pa a resoudre :
"en utilisant l'ecriture complexe d'une similitude directe S (z'=az+b), determiner toutes celle telle que SoS=id

Posté par re : Ecriture complexe:::::::::::::::::::::::::::::::::::: 26-01-05 à 20:19

merci d'avance

Posté par Emma (invité)re : Ecriture complexe:::::::::::::::::::::::::::::::::::: 26-01-05 à 21:50

Salut H_aldnoer

Alors, notons f l'application complexe associée à S :
pour tout z complexe, $f(x)\;=\;a.z\;+\;b$

Alors SoS = Id_P (identité dans le plan P) si, et seulement si, fof = Id_C (identité dans )

c'est-à-dire si, et seulement si, pour tout z de , $(fof)(z)\;=\;z$

i.e. si, et seulement si, pour tout z de , $\;\;\;f\;[\;f(z)\;] = z$

i.e. si, et seulement si, pour tout z de , $\;\;\;f\;[\;a.z\;+\;b\;]\;=\;z$

i.e. si, et seulement si, pour tout z de , $\;\;\;a\;.\;[\;a.z\;+\;b\;]\;+\;b=\;z$

Tu vois où je veux en venir ?

@+
Emma

Posté par re : Ecriture complexe:::::::::::::::::::::::::::::::::::: 26-01-05 à 22:09

slt $2$\blue EMMA$
en faite jen sui arriver o meme point mé je ne c pa si ma conclusion est bonne :

jé donc dit b=0 et a=1 ou -1 d'ou z'=z ou -z

et encore merci pr ce ki é de lenigme je ne pense pa ke se fut un echec car jé tt de meme posté ma reponse ki été correcte mais en ce ki concerne l'etat d'esprit du site je sui tout a fait d'accord avec toi ; a ce sujet jé reposté suite a ton message ds lenigme de la mouche (..va donc y faire un tour lol )

Posté par Emma (invité)re : Ecriture complexe:::::::::::::::::::::::::::::::::::: 26-01-05 à 23:33

Re H_aldnoer

Je suis bien d'accord avec toi : on ne peut pas parler d'échec à partir du moment où on a la satisfaction d'avoir trouvé la réponse à l'énigme !
Au fait, je viens d'aller voir ta réponse à mon pétage de plombs... merci pour ton soutien

--------------------
Bon, sinon, pour ton exercice :
Soit S une similitude telle que SoS = Id_P.

Attention : je ne raisonne plus par équivalence :
je dis 'Si S est telle que SoS = Id_P[/sub], alors S est ainsi'...
A la fin, il ne faudra pas oublier de vérifier que 'si S est ainsi, alors S est bien telle que SoS = Id_P

Bon, donc, ici, je suppose que SoS = Id_P. Donc, d'après mon message précédent, pour tout z complexe, $\;\;\;a\;.\;[\;a.z\;+\;b\;]\;+\;b=\;z$

Donc en, particulier, pour z = 0, on a :
$\;\;\;a.b\;+\;b=\;0$
Donc $\;\;\;(a\;+\;1)\;.\;b=\;0$
Et donc $b\;=\;0$ ou $a\;+\;1\;=\;0$
C'est-à-dire $b\;=\;0$ ou $a\;=\;-1$

Si $\red b\;=\;0$ :
Alors pour tout z, $a^2.z\;=\;z$
et donc en particulier, pour $z\;=\;1$ , $a^2\;=\;1$
D'où $a\;=\;1$ ou $a\;=\;-1$
Ainsi, si b=0 alors a=1 ou a=-1
Et donc, dans ce cas, f : z f(z) = z ou f : z f(z) = -z
C'est-à-dire que S = Id_P ou bien S est une symétrie centrale de centre O
Ce cas-là, tu l'avais...
Mais tu as oublié le second cas :

Si $\red b\;\neq\;0\;\;$ alors $\;\red a\;=\;-1$ :
Alors pour tout z, $(-1).(-z\;+\;b)\;+\;b\;=\;z$
c'est-à-dire $z\;-\;b\;+\;b\;=\;z$
et donc $z\;=\;z$ !!
En fait, si a=-1, alors l'égalité est vérifiée quel que soit b
Donc, dans ce cas, f : z f(z) = -z + b où b est un nombre complexe quelconque.
C'est-à-dire que S est une symétrie centrale de centre B( $\frac{b}{2}$ )

Donc dans les deux cas (que b soit nul ou non), si SoS = Id_P, alors S est la symétrie centrale de centre le point d'affixe $\frac{b}{2}$ .

---------------
Réciproquement, on vérifie aisément que si S est une symétrie centrale, alors SoS = Id_P...

---------------

A très bientôt
Emma

Posté par re : Ecriture complexe:::::::::::::::::::::::::::::::::::: 27-01-05 à 19:14

slt
oki merci te passer un pe de tps pr mon exo
jé tt compris maintenan

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