Bonjour,
  

Bonjour,

au niveau vocabulaire attention à ne pas confondre la longueur de la période et les chiffres qui composent cette période
appeler les deux du même nom "période" entraine des confusions regrettables revenant à écrire que 27 = 2 et 135 = 3 !!

Et attention à ne pas généraliser abusivement un exemple vu avec des périodes de longueurs très faibles (2 et 3)
la règle : "la longueur de la période de la somme est le produit des longueurs des périodes" est fausse

juste est : la période (sa longueur) de la somme est un certain diviseur du PPCM (plus petit multiple commun) des deux périodes (de leurs longueurs).

par exemple :
1/7 = 0.142857142857... de longueur 6
454/693 = 0.655122655122... de longueur 6 aussi
la somme = 0.797979797979... période de longueur 2 seulement, un diviseur de 6

A part s'étonner sur mon travail ou me titiller sur des questions de vocabulaires,il n'y aurait pas quelqu'un qui saurait me dire si oui ou non,la résolution de mon problème est juste ou pas et surtout pourquoi.Rester dans le flou des réponses ne m'aide pas du tout ,en l'occurence

pour ton problème, c'est à dire avec ces valeurs numériques là de a et b, tu as juste, moyennant les maladresses de l'expression.

dans le cas général c'est faux
comme dit, la longueur de la période n'est pas le produit des deux longueurs mais "un certain" diviseur du PPCM des deux longueurs
et la seule façon de déterminer quel diviseur est de faire effectivement l'addition

pourquoi le PPCM ?
c'est un phénomène classique, général et bien connu sur deux "trucs" périodiques de périodes données
comme le dit Labo, il s'agit de répéter la période de a et de répéter la période de b autant de fois qu'il faut pour que "ça tombe en face"

par exemple avec des périodes de longueurs 6 et 10
le PPCM est de 30 (6*5 = 10*3) obtenu en mettant "en face" 5 périodes de 6 et 3 périodes de 10 pour avoir le premier alignement des périodes au bout de 30 digits.

c'est sur cette longueur là (de 30) qu'il faut poser effectivement l'addition, explicitement, pour savoir si la période de la somme est

- pas de période du tout (parce que le résultat se simplifie, par exemple 2/7 et 5/7 ont tous deux la période 6, la somme est égale à 1 et n'a pas de période du tout)
- la période 1 (diviseur de 30)
- ou la période 2 (un autre diviseur de 30)
- ou la période 3
- ou la période 5
- ou la période 6
- ou la période 10
- ou la période 15
- ou la période 30

sans qu'il soit possible de savoir laquelle à priori sans faire effectivement l'addition
(addition avec des fractions et simplification, ta deuxième méthode, ou addition des nombres écrits en décimal)

pourquoi un diviseur ?
cela me semble évident puisqu'au bout de 30 on est sûr de retrouver la périodicité.

pourquoi pas toujours le PPCM ? je t'ai donné un exemple où la longueur 6 "se réduit" parfois à 2
je te laisse en imaginer d'autres


enfin rien ne t'empêche bien sûr de remplacer le PPCM par le produit en disant
"un certain diviseur du produit"
sachant que ce diviseur là sera forcément < ou égal au PPCM, et donc des calculs inutiles

Mathafou
Merci d'avoir pris le temps de  me répondre et merci aux autres aussi.Mais  j'aurais aimé avoir des exemples concrets de tes explications ,en chiffres disons,parce que là pour le coup tes explications sont un peu trop abstraites pour moi et j'ai pas compris grand choses

c'est pas en chiffres (c'est trop merdique) c'est en dessin pour le coup du PPCM :
c'est pareil que des tuiles de largeur 6 (cm) et des briques de largeur 15 (cm) que l'on aligne
et le moment où les séparations coïncident c'est le PPCM : tous les 30 (cm) seulement et pas tous les 6*15 = 90 cm


quant à "ce n'est pas forcément le PPCM, mais seulement un diviseur" je t'ai donné un exemple numérique le 04-09-15 à 15:09 :

Dans l'exemple ci-dessus les périodes sont identiques,donc le PGDC est envisageable .Tandis que pour mon exo les périodes sont différentes.Est ce la raison pour laquelle,on emploie le PPMC pour des périodes différentes  ?

le PGCD n'a pas vraiment son mot à dire là dedansson mot à dire là dedans

c'est comme j'ai dit un diviseur du PPCM point barre.

le PPCM de 6 et de 6 est 6

et donc un diviseur de 6
diviseur qui se trouve être = 2 dans cet exemple
et on peut fabriquer sur cette période de longueur 6 : a = 0.142857142857...
un nombre b à volonté de période 6 aussi avec la somme qui a pour période au choix :

rien du tout
0.142857142857..
+0.857142857142..
=0.999999999999... qui est très exactement 1

de période 1 :
0.142857142857...
+0.523809523809...
=0.666666666666...

de période 2 (l'exemple cité ou autant d'autres qu'on veut, il suffit de décider de la période qu'on veut et de faire le calcul à l'envers)

de période 3 :
0.142857142857...
+0.400686400686...
=0.543543543543...

ou de période 6 (le cas le plus fréquent
0.142857142857...
+0.654321654321... (au hasard)
=0.797178797178...


on peut faire exactement pareil avec des périodes de 6 et 15 pour obtenir totalement au choix des périodes résultantes = n'importe quel diviseur de 30.

évidemment il est un peu plus difficile d'écrire sans erreur un truc de période > 9 !
mais ce n'est pas hors de portée de seulement un peu d'attention.
tu peux ainsi "fabriquer" autant d'exemples que tu veux

Bonsoir.
Quand la période est p, toutes les séquences de k*p chiffres sont les mêmes; lés séquences dont la longueur n'est pas un multiple de p sont différentes.
Pour qu'une somme de deux séquences se répète, il faut que ces séquences soient de la même longueur. La longueur commune à chaque séquence est un multiple de la période qui lui correspond, donc un commun multiple des périodes des deux fractions.

Cas où la somme des deux séquences dépasse le nombre de chiffres des séquences.
La somme commence par 1.
26/37 = 0,702702702702... période 3
7/11 = 0,636363636363... période 2
période de la somme : ppcm(3;2) = 6
la somme de deux group0,es de six chiffres situés à la même place est 702702+636363 = 1339065
la somme des deux fractions en calculant par tranche de six chiffres est :
1,339065 + 0,000001 339065 + 0,000000 000001 339065 + ...
Au fur et à mesure des calculs, chaque séquence qui est au départ 339065 va recevoir un 1 qui provient de la somme.
Séquence de la somme : somme des deux séquences sans le 1 du début mais augmentée de 1.
26/37 + 7/11 = 545/407 = 1,339066 339066 339066 339066 339066 ...

Merci à tous pour vos efforts et merci à toi Plumemétéore.C'était on ne peut plus claire