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EDO à variables séparées

Posté par
mousse42 15-03-18 à 22:53

Bonjour

J'ai rédigé une preuve de la proposition ci-dessous. Pouvez-vous jeter un oeil, en particulier sur l'unicité, en effet, si on choisit une autre solution \psi, avec le même raisonnemet on obtient la même écriture. (J'ai des amisqui ne sont pas du même avis).

Merci et bon courage

Citation :
Proposition

Supposons que f:I\to \mathbb{R} et g: J\to \mathbb{R} sont continues sur I et resp J, et que g ne s'annule pas sur J. Alors pour tout (t_0,y_0)\in I\times J, le problème de Cauchy :

\left\lbrace\begin{array}{l}y'=f(t)g(y)\\y(t_0)=y_0\end{array}\right.

admet une unique solution maximale \overset{\sim}{y}: K\to \mathbb{R} définie par \overset{\sim}{y}=G^{-1}(F(t)),\quad t\in K
où G(y)=\displaystyle \int_{y_0}^y\dfrac{1}{g(s)}\cdot ds et F(t)=\displaystyle \int_{t_0}^t f(z)\cdot dz et K est le plus grand intervalle ouvert contenu dans I tel que t_0\in K et F(K)\subset G(J)




Démonstration

Analyse :

Soit (t_0,y_0)\in I\times J quelconque, on suppose que \phi(t) est solution du problème  Cauchy :

Ainsi on a :

\begin{array} {ll}\phi'(t)=f(t)g(\phi(t))&\iff \dfrac{\phi'(t)}{g(\phi(t))}=f(t)\iff \displaystyle \int_{t_0}^t \dfrac{\phi'(s)}{g(\phi(s))}\cdot ds =\int_{t_0}^t f(z)\cdot dz\\ \\&\iff \displaystyle \int_{\phi(t_0)=y_0}^{\phi(t)=y} \dfrac{1}{g(u)}\cdot du=\int_{t_0}^t f(z)\cdot dz\iff G(y)=F(t) \end{array}

Puisque \forall z\in J,\quad g(z)>0, on déduit que G est croissant, donc que G^{-1}:G(J)\to \mathbb{R} existe. Ainsi y=\phi(t)=G^{-1}(F(t)) et cette écriture est unique. Et puisque pour tout t\in I,\; F(t)\in G(J), montre que \phi est bien définie. Et que \phi(t)\in G^{-1}(G(J))=J

De plus puisque \displaystyle F(t)=\int_{t_0}^t f(z)\cdot dz, on déduit que t\in [t_0,+\infty[\cap I=K et montre que K est maximal. Ainsi on a montré que \phi est une unique solution maximale.

Synthèse :

Résultat intermédiaire :  Puisque G est une bijection on a : G\circ G^{-1}(z)=z \iff (G^{-1})'(z) =\dfrac{1}{G'(G^{-1}(z))}

On dérive \phi :

\phi'(t)=(G^{-1}(F(t)))'=F'(t)\cdot (G^{-1})'(F(t))=\dfrac{F'(t)}{G'(G^{-1}(F(t)))}=f(t)g(G^{-1}(F(t)))=f(t)g(\phi(t))

De plus \phi(t_0)= G^{-1}(F(t_0))=G^{-1}(0)=y_0$ car $G(y_0)=0

Ainsi on a montré sous les hypothèses de la proposition 4.22 que pour tout (t_0,y_0)\in I\times J \quad \phi:K\to J est l'unique solution maximale

Posté par
jsvdbre : EDO à variables séparées 16-03-18 à 01:10

Bonsoir mousse42.
Ça fait plaisir de voir des rédactions où on sent du bon boulot de présentation et du travail de recherche. J'ai clairement envie de me pencher dessus.
J'ai commencé, mais là il se fait un peu tard, donc je conserve le topic.

Posté par
mousse42re : EDO à variables séparées 16-03-18 à 11:10

Salut jsvdb, je te remercie, à très bientôt

Posté par
jsvdbre : EDO à variables séparées 16-03-18 à 23:34

Il y a quand même un schmilblick qui me chagrine quand je lis l'énoncé, c'est que g soit supposée seulement continue. Ça colle pas des masses avec le théorème de Cauchy-Lipschitz.

Le genre I=J=\R,~y'(t) = y^{1/3}(t),~y_0=t_0=0 pourrait bien venir mettre en défaut tout ça.

Posté par
mousse42re : EDO à variables séparées 16-03-18 à 23:38

g ne s'annule pas, c'est une donnée importante

Posté par
jsvdbre : EDO à variables séparées 16-03-18 à 23:53

Oki doki; donc ça veut dire gros roupillon pour l'ami jsvdb qui regardera ça à tête reposée plus tard.

Posté par
mousse42re : EDO à variables séparées 16-03-18 à 23:54

merci quand même et bonne nuit

Posté par
luzakre : EDO à variables séparées 17-03-18 à 13:02

Bonjour jsvdb !
Le théorème de Cauchy-Lipschitz est une condition suffisante d'existence et unicité.
Il n'est donc pas impossible que sans ces hypothèses il y ait solution maximale unique...

Posté par
jsvdbre : EDO à variables séparées 17-03-18 à 16:02

Bonjour luzak.
Oui, c'est vrai 🙂

Posté par
jsvdbre : EDO à variables séparées 21-03-18 à 01:44

Dans ta partie analyse, tu conclus en disant que \phi est une unique solution maximale (sous-entendu, vérifiant \phi(t_0) = y_0). Alors dans ce cas, il faut parler de la solution maximale unique et donc la preuve devrait s'arrêter là. Mais tu  continues en synthèse, où tu reconclus que \phi est l'unique solution maximale. C'est donc qu'il y a quelque chose qui cloche.

A vrai dire, je ne suis pas du tout partisan de la version "solutions maximales" dans la démonstration des équations différentielles, mais des "supports confondus". Et une fois qu'on a démontré les supports confondus, on poursuit en montrant l'existence d'une maximale en réunissant tous les supports de toutes les solutions.

J'appelle (E) l'équation différentielle telle que posée initialement. Je suppose également que g est strictement positive.

On montre d'abord sans difficulté que la fonction y\in J \rightarrow G(y) = \int_{y_0}^{y}{\frac{du}{g(u)}} est bien définie, bijective en raison des hypothèses faites sur g.

Après l'analyse (= étude de la nécessité), on ne peut pas conclure à l'existence d'une solution, mais seulement à sa forme nécessaire.

Donc si \phi est solution de (E), alors comme \phi'(t) = f(t)g(\phi(t)), \phi(t_0) = y_0, il est nécessaire que \phi soit à minima définie sur un intervalle ouvert I_0 contenant t_0 (pour être dérivable en t_0 et dérivable en tout point de I_0), qu'elle y soit de classe C^1 et qu'elle soit à valeur dans J pour que g\circ \phi ait un sens.

Soit donc \phi : I'\subset I \rightarrow J,~I' \text{ ouvert contenant }t_0 une fonction de classe C^1 vérifiant (E). Il vient alors pour tout t \in I' :

\begin {aligned} \phi'(t) = f(t)g(\phi(t)) & \Rightarrow \dfrac{\phi'(t)}{g(\phi(t))} = f(t) \\ & \Rightarrow \int_{\phi(t_0)}^{\phi(t)}{\dfrac{du}{g(u)}}=\int_{t_0}^{t}{f(u)du} \\ & \Rightarrow G(\phi(t)) = F(t) \\ & \Rightarrow \phi(t) = G^{-1}(F(t))\end{aligned}.

Arrivé à ce stade, avant de passer en synthèse, on sait que si \phi est définie, alors elle [b]nécessairement(/b] de la forme G^{-1}\circ F. On ne sait rien d'autre, et surtout pas qu'un tel objet puisse prétendre à l'existence.

Il faut maintenant chercher si G^{-1}\circ F peut être définie et si oui, sur quel type d'intervalle.

On cherche donc des t\in I tels que F(t) \in G(J). On note que t_0 \in I \text{ et } F(t_0) = 0 = G(y_0). Donc t_0 est admissible dans le domaine cherché.

Comme G est continue, que J est ouvert, que y_0 \in J, que G(y_0) = 0 et que g > 0, alors, pour \varepsilon >0 tel que ]y_0-\varepsilon, y_0+\varepsilon[\subset J il existe \delta > 0 tel que ]-\delta;\delta[ \subset G(J)

Comme F est continue, que I est ouvert, que t_0 \in I, que F(t_0) = 0, alors, pour le \delta défini ci-dessus, il existe \delta' > 0,\delta''>0 tel que 0\in F(]-\delta';\delta''[)\subset ]-\delta;\delta[ \subset G(J).
Attention : on peut très bien avoir F(]-\delta';\delta''[)\subset [0;\delta[

Par suite, G^{-1}\circ F est définissable sur ]-\delta';\delta''[.

Partant, on montre sans difficulté que \forall t \in ]-\delta';\delta''[, la fonction t \mapsto \phi(t) = G^{-1}\circ F est dérivable et \phi'(t) = f(t)g(\phi(t)) sur ce même intervalle.

Cette démonstration montre que si \phi et \varphi sont deux solutions de (E) définies respectivement sur les intervalles ouverts O_\phi et O_\varphi contenant t_0 alors elles sont égales sur O_\phi \cap O_\varphi; c'est ce que j'appelle la confusion des supports.

On considère alors l'ensemble des solutions de (E) définies sur un intervalle ouvert contenant t_0. La réunion de tous les supports de ces solutions est encore un ouvert contenant t_0 et c'est le plus grand sur lequel on puisse définir une solution viable de (E).
On peut introduire pour cela la relation suivante entre deux solutions : \varphi \leq \phi \Leftrightarrow \text{supp}(\varphi) \subseteq \text{supp}(\phi) , montrer que c'est une relation d'ordre (partielle) qui fait de l'ensemble des solutions un ensemble inductif, appliquer le Lemme de Zorn et tirer un élément maximal.

Maintenant, quel est plus précisément cet ouvert ?
La phrase en bleu nous l'indique : il s'agit de la réunion de l'ensemble des intervalles de la forme ]-\delta';\delta''[ tels que F(]-\delta';\delta''[) \subset G(J).

Comme tous ces ensembles sont connexes et contiennent tous t_0, leur réunion et encore connexe et contient t_0.

On note K cet intervalle :

\blue \boxed {\text{il est ouvert, contient } t_0 \text{ et vérifie que c'est le plus grand qui soit inclus dans I tel que } F(K) \subset G(J)}

Posté par
mousse42re : EDO à variables séparées 21-03-18 à 10:23

merci jsvdb, je regarde ce tu as fait tranquillement. à bientôt surl'


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