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EDO et fonction constante

Posté par
VVictor33 16-01-21 à 18:27

Bonjour,
Je dispose du système différentiel suivant :

x'=x(1-y)^{3}
y'=y(x-1)^{3}


On pose \Psi (t)=ln(x(t))+ln(y(t))-x^{4}(t)/4-y^{4}(t)/4

Je dois montrer que \Psi est une fonction constante.

J'ai essayé d'utiliser la séparation des variables qui m'a donné ça :

dt=\frac{dx}{x(1-y)^{3}}=\frac{dy}{y(x-1)^{3}}

J'ai donc essayé d'intégrer sur dx et sur dy pour tenter de retrouver \Psi mais ça ne marche pas.
J'imagine qu'une deuxième méthode serait de dériver \Psi par rapport a t et de montrer que la dérivée vaut 0 mais cette méthode m'a l'air très calculatoire et je ne parviens pas à aboutir.
(Peut être que ma dérivée est mauvaise, j'ai trouvé : \frac{d\Psi (t)}{dt} = \frac{x'}{x}-x'x^{3}+\frac{y'}{y}-y'y^{3}+\frac{1}{x}-x^{3}+\frac{1}{y}-y^{3})

Pouvez vous m'aider ?

Posté par
lafol Moderateurre : EDO et fonction constante 16-01-21 à 18:41

Bonjour
très calculatoire ? une fois qu'on a vu que x'/x c'est le cube de 1- y (première équation) et que y'/y est celui de x-1 ....

c'est surtout que ta dérivée est très fantaisiste et bien plus compliquée qu'elle ne devrait

Posté par
VVictor33re : EDO et fonction constante 16-01-21 à 18:45

Oui désolé pour la dérivée je viens de réaliser que ça n'avait pas de sens


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