bonjours,
j'ai une question, pourquoi t]0,+] [ tex]\frac{e[ sup]-[ smb]pi[/smb]t[/sup]}{1-e[ sup]-[ smb]pi[/smb]t[/sup]}[/tex]=[ tex]\sum_{1}^{+b[ smb]infini[/smb]}[/tex]e[ sup]-k [ smb]pi[/smb]t[/sup]
**** j'ai mis une espace dans la balise "tex" pour que tu voies ce qui l'a fait foirer : le mélange entre code latex et BBcode
Bonsoir !
Question trop vague !
Somme finie ? Intégrale sur un segment ? Pour quelles fonctions as-tu le droit de définir une intégrale ?
*** message déplacé ***
Bonjour,
Alors j'ai un théorème de prépa mais que l'on ne m'a pas autorisé en fac et qui est bien pratique : si converge
*** message déplacé ***
jarod128
je suis en prépa aussi
Donc il suffit que f converge au voisinage de l'infinie bien sûr, c'est ça??
*** message déplacé ***
Rira
voilà mon exercice ,
j'ai trouvé e-ktarctan(t)dt et ce qui est demandé c'est l'inverse c'est à dire et non
*** message déplacé ***
Bonjour
et si au lieu de donner un petit bout ici, un petit bout là, tu donnais un énoncé COMPLET et PRÉCIS ?
Si
# pour tout n, fn est continue par morceau de I dans C avec I quelconque
# pour tout n, fn appartient à L1(I,C)
# somme fn converge simplement sur I
# somme intégrale |fn| converge
Alors on peut permuter.
Désolé pour latex, je n'arrive pas à utiliser le menu Tex sur mon phone
Salut !
On a des théorèmes classiques à ce sujet :
1 - Version intégrale de Lebesgue
Soient un espace mesuré complet, E un espace euclidien et une suite de fonctions intégrables de X dans E.
On suppose que la série numérique converge.
Alors la série de fonctions converge presque partout sur X vers une fonction intégrable et on a :
Dans le cas particulier où l'espace mesuré est muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve le théorème d'interversion pour les séries doubles à valeurs dans E, sous l'hypothèse de sommabilité.
2 - Version convergence uniforme sur un segment :
Soient I un segment de et une suite de fonctions continues de I dans E.
On suppose que la série de fonctions converge uniformément sur I vers une fonction S.
Alors S est continue sur I et on a :
3 - Version convergence dominée.
Soit un espace mesuré et une suite de fonctions intégrables sur cet espace. On suppose :
- converge µ-presque partout.
- Il existe une fonction g intégrable et positive telle que pour tout n entier on ait
Alors est intégrable et on a
Exemple d'application du 3 :
Montrer que
Bonjour !
Si tu es en prépa, il faut oublier les "lebesgueries" de jsvdb !
Je pense que le théorème qui t'intéresse serait un (?) de ceux énoncés par jarod128 :
Soit une suite de fonctions intégrables sur . On suppose que la série converge sur et que la somme est une fonction continue par morceaux.
Alors, si est convergente, la fonction est intégrable et .
De plus,
Pour l'exemple que tu cites, étant donné que les fonctions sont positives et qu'il est possibled'expliciter aussi bien les sommes partielles que les restes de la série, on doit pouvoir arriver à l'interversion des sommations sans trop de problèmes.
Bonjour luzak. C'est ce théorème dont je parlais, j'ai énoncé la version que j'avais eue en prépa. Mais comme écrit, pas le droit de l'utiliser au capes. Sais tu si ce théorème porte un nom et comment le démontrer? Merci.
Échanger une intégrale et une série est équivalent à montrer que l'intégrale du reste tend vers 0 . Mais c'est à utiliser en dernier recours !
@jarod128
Il s'agit du théorème d'intégration terme à terme d'une série et il se démontre an utilisant le théorème de convergence monotone ainsi que la définition de l'intégrabilité connue en prépas : majoration des intégrales sur des segments de l'intervalle considéré.
Je ne sais pas si au CAPES il est prévu d'avoir à intervertir somme et intégrale ! Peut-être dans des cas particulier d'intégrale sur un segment ?
@Zrun
Ton "dernier recours" me semble une mauvaise indication.
Quand on peut expliciter les sommes partielles (ou les restes de la série) le théorème de convergence dominée peut être plus simple à utiliser pour intervertir limite et intégrale.
@Rira
Je ne sais pas si tu as besoin vraiment de ce théorème.
Dans le cas de ton exemple, en posant tu peux expliciter et chercher, par convergence dominée, à justifier la relation
Du coup vous pouvez en pensez quoi de cette remarque que nous nous faisions en prépa si tout est positif donc sans avoir besoin des valeurs absolues :
"On intervertit, si ça marche alors c'est bon, bref à la physicienne"
Bonjour,
Dans son livre "Méthodes mathématiques pour les sciences physiques" chez Hermann, Laurent Schwartz donne la version convergence dominée de Lebesgue citée par jsvdb puis indique la proposition suivante:
Si l'ensemble d'indices I est dénombrable , si est une série à termes positifs ou nuls, on a toujours
les deux membres étant finis ou égaux à
qui est plus simple d'emploi dit-il dans le cas des séries à termes positifs.
Il ne la démontre pas, se contentant de dire " comme on pouvait déjà intervertir les 2 symboles dans la sommation par paquets des séries à termes et intervertir 2 symboles dans le théorème de Fubini relatif à l'intégrale double d'une fonction .
A toutes fins utiles…et pour rassurer jarod128
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