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Niveau Maths sup
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égalité

Posté par
Rira
15-07-19 à 20:54

bonjours,
j'ai une question, pourquoi t]0,+]   [ tex]\frac{e[ sup]-[ smb]pi[/smb]t[/sup]}{1-e[ sup]-[ smb]pi[/smb]t[/sup]}[/tex]=[ tex]\sum_{1}^{+b[ smb]infini[/smb]}[/tex]e[ sup]-k [ smb]pi[/smb]t[/sup]

**** j'ai mis une espace dans la balise "tex" pour que tu voies ce qui l'a fait foirer : le mélange entre code latex et BBcode

Posté par
Rira
re : égalité 15-07-19 à 20:56

Rira @ 15-07-2019 à 20:54

bonjours,
j'ai une question, pourquoi t]0,+]  e-kt/(1-e-t)=0+e-kt

Posté par
Rira
re : égalité 15-07-19 à 20:57

bonjours,
j'ai une question, pourquoi t]0,+]  e-t/(1-e-t)=0+e-kt

Posté par
larrech
re : égalité 15-07-19 à 21:22

Bonsoir,

C'est faux, on a \sum_{k=0}^{+\infty}{e^{-k\pi t}}= \dfrac{e^{\pi t}}{e^{\pi t}-1}

Posté par
Rira
re : égalité 15-07-19 à 21:35

larrech

larrech @ 15-07-2019 à 21:22

Bonsoir,

C'est faux, on a \sum_{k=0}^{+\infty}{e^{-k\pi t}}= \dfrac{e^{\pi t}}{e^{\pi t}-1}

d'où  vient cette relation?

Posté par
larrech
re : égalité 15-07-19 à 21:42

\sum_{k=0}^{N}{e^{-k\pi t}}= \dfrac{1-e^{-\pi(N+1) t}}{1-e^{-\pi t}}

(somme des termes d'une série géométrique )

A la limite, il reste

\sum_{k=0}^{+\infty}{e^{-k\pi t}}= \dfrac{1}{1-e^{-\pi t}}

puis e^{-\pi t}=\dfrac{1}{e^{\pi t}}

Posté par
Rira
re : égalité 15-07-19 à 21:45

larrech Merci

Posté par
larrech
re : égalité 15-07-19 à 21:47

Posté par
Rira
permutation 15-07-19 à 23:20

Bonjour,
quand est ce que j'ai le droit de permuter et
Merci

*** message déplacé ***

Posté par
luzak
re : permutation 15-07-19 à 23:24

Bonsoir !
Question trop vague !
Somme finie ? Intégrale sur un segment ? Pour quelles fonctions as-tu le droit de définir une intégrale ?

*** message déplacé ***

Posté par
Rira
re : permutation 15-07-19 à 23:26

luzak
Ah! Désolé
La somme est infinie et l'intégrale existe

*** message déplacé ***

Posté par
Rira
re : permutation 15-07-19 à 23:27

l'intégrale est infinie aussi

*** message déplacé ***

Posté par
jarod128
re : permutation 15-07-19 à 23:27

Bonjour,
Alors j'ai un théorème de prépa mais que l'on ne m'a pas autorisé en fac et qui est bien pratique : si \sum{\int ||} converge

*** message déplacé ***

Posté par
Rira
re : permutation 15-07-19 à 23:29

jarod128
je suis en prépa aussi
Donc il suffit que f converge au voisinage de l'infinie bien sûr, c'est ça??

*** message déplacé ***

Posté par
Rira
re : permutation 15-07-19 à 23:30

c'est le théorème de la convergence monotone?

*** message déplacé ***

Posté par
jarod128
re : permutation 15-07-19 à 23:30

Ce n'est pas ce que j'ai écrit

*** message déplacé ***

Posté par
jarod128
re : permutation 15-07-19 à 23:31

Et non ce n'est pas ce théorème

*** message déplacé ***

Posté par
Rira
re : permutation 15-07-19 à 23:32

jarod128 ce n'est pas f mais

*** message déplacé ***

Posté par
Rira
re : permutation 15-07-19 à 23:42

Rira
voilà mon exercice ,
j'ai trouvé \sum_{1}^{infini} \int_{0}^{infini}e-ktarctan(t)dt et ce qui est demandé c'est l'inverse c'est à dire et non

*** message déplacé ***

Posté par
Rira
re : permutation 15-07-19 à 23:43

jarod128
comment je vais démontrer la convergence dans ce cas ?

*** message déplacé ***

Posté par
lafol Moderateur
re : égalité 16-07-19 à 00:06

Bonjour
et si au lieu de donner un petit bout ici, un petit bout là, tu donnais un énoncé COMPLET et PRÉCIS ?

Posté par
jarod128
re : égalité 16-07-19 à 00:21

Si
# pour tout n, fn est continue par morceau de I dans C avec I quelconque
# pour tout n, fn appartient à L1(I,C)
# somme fn converge simplement sur I
# somme intégrale |fn| converge

Alors on peut permuter.
Désolé pour latex, je n'arrive pas à utiliser le menu Tex sur mon phone

Posté par
jsvdb
re : égalité 16-07-19 à 01:13

Salut !

On a des théorèmes classiques à ce sujet :

1 - Version intégrale de Lebesgue

Soient (X,\mathcal A, \mu) un espace mesuré complet, E un espace euclidien et {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} une suite de fonctions intégrables de X dans E.

On suppose que la série numérique {\displaystyle \sum _{n}\left(\int \|f_{n}\|~\mathrm {d} \mu \right)} converge.

Alors la série de fonctions {\displaystyle \sum f_{n}} converge presque partout sur X vers une fonction intégrable et on a :

\large  \blue \boxed { {\displaystyle \int \left(\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\right)~\mathrm {d} \mu =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\int f_{n}~\mathrm {d} \mu \right).}}

Dans le cas particulier où l'espace mesuré est \N muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve le théorème d'interversion pour les séries doubles à valeurs dans E, sous l'hypothèse de sommabilité.

2 - Version convergence uniforme sur un segment :

Soient I un segment de \R et {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} une suite de fonctions continues de I dans E.

On suppose que la série de fonctions {\displaystyle \sum f_{n}} converge uniformément sur I vers une fonction S.

Alors S est continue sur I et on a :

\large  \blue \boxed {\displaystyle \int _{I}S(x)~\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\int _{I}f_{n}(x)~\mathrm {d} x\right).} }

3 - Version convergence dominée.

Soit (E,\tau, \mu) un espace mesuré et (u_n)_n une suite de fonctions intégrables sur cet espace. On suppose :

- \sum u_n converge µ-presque partout.

- Il existe une fonction g intégrable et positive telle que pour tout n entier on ait \left|\sum_{n=1}^N u_n \right|\leq g~(\mu-\text{pp})

Alors \sum u_n est intégrable et on a \large  \blue \boxed { {\displaystyle \int \left(\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}\right)~\mathrm {d} \mu =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\int u_{n}~\mathrm {d} \mu \right).}}

Exemple d'application du 3 :

Montrer que \red \int_0^1 \frac{\ln(t)}{1-t}=-\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}

Posté par
luzak
re : égalité 16-07-19 à 09:16

Bonjour !
Si tu es en prépa, il faut oublier les "lebesgueries" de jsvdb !

Je pense que le théorème qui t'intéresse serait un (?) de ceux énoncés par jarod128 :
Soit (f_n)_{n\in\N} une suite de fonctions intégrables sur K. On suppose que la série \sum f_n converge sur K et que la somme f est une fonction continue par morceaux.
Alors, si \sum\Bigl(\int_K\lVert f_n\rVert\Bigr) est convergente, la fonction f est intégrable et \int_Kf=\sum_{n\geq0}\Bigl(\int_Kf_n\Bigr).
De plus, \int_K\lVert\sum_{n\geq0} f_n\rVert\leq\sum_{n\geq0}\Bigl(\int_K\lVert f_n\rVert\Bigr)

Pour l'exemple que tu cites, étant donné que les fonctions sont positives et qu'il est possibled'expliciter aussi bien les sommes partielles que les restes de la série, on doit pouvoir arriver à l'interversion des sommations sans trop de problèmes.

Posté par
jarod128
re : égalité 16-07-19 à 10:21

Bonjour luzak. C'est ce théorème dont je parlais, j'ai énoncé la version que j'avais eue en prépa. Mais comme écrit, pas le droit de l'utiliser au capes. Sais tu si ce théorème porte un nom et comment le démontrer? Merci.

Posté par
Zrun
re : égalité 16-07-19 à 11:02

Échanger une intégrale et une série est équivalent à montrer que l'intégrale du reste tend vers 0 . Mais c'est à utiliser en dernier recours !

Posté par
luzak
re : égalité 16-07-19 à 13:46

@jarod128
Il s'agit du théorème d'intégration terme à terme d'une série et il se démontre an utilisant le théorème de convergence monotone ainsi que la définition de l'intégrabilité connue en prépas : majoration des intégrales sur des segments de l'intervalle considéré.

Je ne sais pas si au CAPES il est prévu d'avoir à intervertir somme et intégrale ! Peut-être dans des cas particulier d'intégrale sur un segment ?

@Zrun
Ton "dernier recours" me semble une mauvaise indication.
Quand on peut expliciter les sommes partielles (ou les restes de la série) le théorème de convergence dominée peut être plus simple à utiliser pour intervertir limite et intégrale.

@Rira
Je ne sais pas si tu as besoin vraiment de ce théorème.
Dans le cas de ton exemple, en posant f_n(t)=\sum_{1\leq k\leqn}e^{-k\pi t}\,\arctan(t) tu peux expliciter f_n et chercher, par convergence dominée, à justifier la relation \int_0^{+\infty}(\lim_{n\to+\infty}f_n)=\lim_{n\to+\infty}\Bigl(\int_0^{+\infty}f_n\Bigr)

Posté par
Zrun
re : égalité 16-07-19 à 16:52

luzak @ 16-07-2019 à 13:46



@Zrun
Ton "dernier recours" me semble une mauvaise indication.
Quand on peut expliciter les sommes partielles (ou les restes de la série) le théorème de convergence dominée peut être plus simple à utiliser pour intervertir limite et intégrale.

Ce n'était pas une indication pour résoudre son exercice .
Je répondais à la question du début , à savoir quand échanger une intégrale et une somme , et c'est équivalent à ce que j'ai annoncé !
En fait , le théorème de jarod128 énonce des conditions nécessaires pour avoir l'intégrale du reste qui tend vers 0 mais ce n'est absolument nécessaire .
Et dans les exercices les plus pointilleux, on est parfois obliger de revenir à cette caractérisation !

Posté par
jarod128
re : égalité 16-07-19 à 16:59

Du coup vous pouvez en pensez quoi de cette remarque que nous nous faisions en prépa si tout est positif donc sans avoir besoin des valeurs absolues :
"On intervertit, si ça marche alors c'est bon, bref à la physicienne"

Posté par
larrech
re : égalité 16-07-19 à 17:06

Bonjour,

Dans son livre "Méthodes mathématiques pour les sciences physiques" chez Hermann, Laurent Schwartz donne la version convergence dominée de Lebesgue citée par jsvdb puis indique la proposition suivante:

Si l'ensemble d'indices I est dénombrable , si \sum_{i \in I}{u_ i(x) } est une série à termes positifs ou nuls, on a toujours

\int_{\mathbb R}({\sum_{i \in I}{u_ i(x) }}) dx={\sum_{i \in I}\int_{\mathbb R}{u_ i(x) } dx}

les deux membres étant finis ou égaux à +\infty


qui est plus simple d'emploi dit-il dans le cas des séries à termes positifs.

Il ne la démontre pas, se contentant de dire  " comme on pouvait déjà intervertir les 2 symboles \Sigma dans la sommation par paquets des séries à termes \geq0  et intervertir 2 symboles \int dans le théorème de Fubini relatif à l'intégrale double d'une fonction \geq 0.

A toutes fins utiles…et pour rassurer jarod128

Posté par
jarod128
re : égalité 16-07-19 à 17:10

C'était pour rappeler que existence et calcul sont deux choses distinctes en tout cas en math

Posté par
luzak
re : égalité 16-07-19 à 18:43

Attendons de voir si Rira s'en sort et ce qu'elle préfère comme méthode :
Le théorème de sommation terme à terme OU le calcul des sommes partielles et l'interversion des limites.



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