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Soit a = (2+5^1/2)^1/3-(-2+5^1/2)^1/3

Elevons a au cube. On obtient :

a³ = [(2+5^1/2)^1/3-(-2+5^1/2)^1/3]³

=(2+5^1/2)-3*(2+5^1/2)^2/3*(-2+5^1/2)^1/3+3*(2+5^1/2)^1/3*(-2+5^1/2)^2/3-(-2+5^1/2)

=4-3*[(5^1/2-2)*(5^1/2+2)]^1/3*(5^1/2+2)^1/3+3*[(5^1/2-2)*(5^1/2+2)]^1/3*(5^1/2-2)^1/3

=4-3*(5-4)^1/3*(5^1/2+2)^1/3+3*(5-4)^1/3(5^1/2-2)^1/3

=4-3*(5^1/2+2)^1/3+3*(5^1/2-2)^1/3

=4-3[(2+5^1/2)^1/3-(-2+5^1/2)^1/3]=4-3a

Donc a vérifie l'équation a³ = 4-3a soit a³+3a-4 =0

1 est racine évidente. En effet 1³+3*1-4 =0.

Montrons qu'il n'y a pas d'autres solutions réelles.

Soit P(a)= a³+3a-4.

1 est racine donc P s'écrit P(a)=(a-1)(ba²+ca+d) avec b,c,d des réels.

Développons :

P(a)= ba³+ca²+da-ba²-ca-d = ba³+(c-b)a²+(d-c)a-d

Par identification, on obtient b=1, d=4 et c=1.

Donc P(a)=(a-1)(a²+a+4).

Calculons le discriminant de g(a)=a²+a+4.

D = 1-16 < 0 donc P n'admet pas d'autres racines réelles que 1.

Or a est réel donc a=1.

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On note a ce réel.
En élévant a au cube, on vérifie aisément que a vérifie l'équation a³+3a-4=0 dont l'unique solution réelle est 1 d'où le résultat

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je viens de regarder la solution proposée par cinnamon et je me rend compte qu'on a eu la même idée ! Il y a une autre solution ?