Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Niveau Maths sup
Partager :

Egalité d'espérence

Posté par
Vialz
21-10-17 à 15:38

        Bonjour,

On me demande de montrer l'égalité suivante

(0 à +inf) g'X(u)*e^(-uy) du = -E[X/(X+y)]

avec g'X(u) = -E[Xe^(-uX)] et y>0.

J'ai tout d'abord écris que (0 à +inf) g'X(u)*e^(-uy) du = (0 à +inf) -E[Xe^(-u(X+y)] du mais je n'arrive pas à montrer l'égalité.

Merci

Posté par
larrech
re : Egalité d'espérence 21-10-17 à 16:13

Bonjour,

La seule façon que je vois c'est d'écrire que, sauf erreur,

-E[Xe^{(-uX)}] =-\int_0^{+\infty} x^2 e^{-ux}dx

On obtient alors une intégrale double et on inverse l'ordre des intégrations (Fubini)

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 21-10-17 à 16:34

       Bonjour Larrech,

Il est dit, qu'il faut en déduire cette égalité par rapport à la question précédente. Et à la question précedente j'ai montre que gX'(u) = -E[Xe^(-ux)]

Je te dis ça au cas ou j'avais oublier des hypothèses qui aurait pu te permettre de répondre sans utiliser fubini :/

Maintient tu qu'il faut utilisé Funibi ?

Bonne journée

Posté par
larrech
re : Egalité d'espérence 21-10-17 à 16:39

Moi je ne maintiens rien du tout, j'émets une idée .

Comment as-tu établi cette égalité ?  En évaluant une intégrale ? Autrement ?

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 21-10-17 à 16:46

J'ai établi l'égalité gX'(u) = -E[e^(-uX)] car cela m'a été demandé à la question précédente auquel j'ai utilisé un théorème de dérivation avec une intégrale.

Et là on me demande de montrer cette égalité avec y>0

Posté par
larrech
re : Egalité d'espérence 21-10-17 à 16:56

Une dérivation sous le signe  \int j'imagine. En revenant à l'expression de E sous forme d'intégrale et en faisant ce que j'ai dit je pense qu'on arrive au résultat demandé.

Je crains de ne pouvoir en faire beaucoup plus.

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 21-10-17 à 17:07

En revenant à l'expression de E sous forme d'intégrale et en faisant ce que j'ai dit je pense qu'on arrive au résultat demandé.

Je ne vois pas ce que tu veux dire, c'est quoi E ??

Merci

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 21-10-17 à 17:51

larrech @ 21-10-2017 à 16:13

Bonjour,

La seule façon que je vois c'est d'écrire que, sauf erreur,

-E[Xe^{(-uX)}] =-\int_0^{+\infty} x^2 e^{-ux}dx

On obtient alors une intégrale double et on inverse l'ordre des intégrations (Fubini)


Pour il y'a un x au carré dans l'intégrale ?

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 21-10-17 à 17:53

J'ai oublier de préciser que X a pour densité px.
Je ne vois pas comment on peut calculer une intégrale double sans connaître l'expression de px dans mon cas

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 21-10-17 à 17:56

Moi j'ai que :

(0 à +inf) gX'(u)e^(-uy)du = (0 à +inf)*(-E[Xe^(-u(X+y)] du

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 21-10-17 à 19:48

Quelqu'un aurait-il une petite idée

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 22-10-17 à 15:36

Posté par
larrech
re : Egalité d'espérence 22-10-17 à 16:01

D'après la question précédente

\int_0^{+\infty} g'X(u)  e^{-uy}du=\int_0^{+\infty} (\int_0^{+\infty}\left(-x p_x e^{-ux} dx \right) ) e^{-uy}du = -\int_0^{+\infty}x p_xdx \int_0^{+\infty} e^{-u(x+y)} du

...= -\int_0^{+\infty}\dfrac {x p_x}{x+y}dx = -E(\frac{X}{X+y})

en intervertissant l'ordre des intégrations (Fubini)

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 22-10-17 à 16:40

      Bonjour c'est bien plus claire maintenant avec Fubini,

Mais je bloque ici : -\int_0^{+\infty}x p_xdx*\int_0^{+\infty} e^{-u(x+y)} du

Je ne vois pas quoi faire peux tu me donner un indice en tout cas je remarque qu'on à d'abord -E[X] multiplié par un autre terme dépendant de u

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 22-10-17 à 16:48

Non j'ai reussi.

Merci Larrech pour ton aide précieuse

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 22-10-17 à 16:54

Sinon tu aurais une petit idée pour dire que -E[X/X+y] a bien un sens i.e que c'est bien convergent ?

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 22-10-17 à 17:03

Autre question : On me suggère qu'il existe Y une va à densité définie sur R+*
et on note gY(u) = E[e^-(uY)]. Y est indépendante de X.  Pour u>=0 montrer que E[X/(X+Y)] = -(0 à +inf) g'X(u)*gY(u) du

Y est à densité donc j'ai le droit d'écrire gY(u) = (0 à +inf) py du avec py une densité de Y.
Je n'ai pas d'idée par ou commencer :/

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 23-10-17 à 14:48

Posté par
larrech
re : Egalité d'espérence 23-10-17 à 15:27

Vialz @ 22-10-2017 à 16:54

Sinon tu aurais une petit idée pour dire que -E[X/X+y] a bien un sens i.e que c'est bien convergent ?


Comme x et y sont par hypothèse positifs 0\leq\dfrac{x}{x+y}<1

Alors A étant positif , 0\leq\int_0^A\dfrac{p_ x x}{x+y} dx \leq \int_0^{+\infty}p_ x dx =1

Ensuite , comme X et Y sont indépendantes

E(\dfrac{X}{X+Y})=\int_0^{+\infty}x p_x dx\int_0^{+\infty}\dfrac{p_y}{x+y} dy  (1)

Or \int_0^{+\infty}\dfrac{p_y}{x+y} dy =\int_0^{+\infty}p_y} dy\int_0^{+\infty} (-e^{-u(x+y)})du = - e^{-ux}\int_0^{+\infty} (\int_0^{+\infty}p_ y e^{-uy} dy) du= - e^{-ux}\int_0^{+\infty} gY(u) du

qu'on reporte dans (1). Je vous laisse finir et mettre tout ça en forme.

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 23-10-17 à 19:37

Merci à vous Larrech je vais bosser votre post précédemment posté et essayer comprendre de moi même. Il ya d'autre questions abstraite par la suite je vous tiens au courant. Thanks

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 23-10-17 à 21:10


Or \int_0^{+\infty}\dfrac{p_y}{x+y} dy =\int_0^{+\infty}p_y} dy\int_0^{+\infty} (<b><font class='rouge'>-</font></b>e^{-u(x+y)})du

Je ne comprend pas pourqu'il il y'a un -

Petite question, le fait d'avoir une intégrale qui est bornée par deux autres intégrales convergente implique que l'intégrale converge?

Bonne soirée

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 23-10-17 à 21:11


 \int_0^{+\infty}\dfrac{p_y}{x+y} dy =\int_0^{+\infty}p_y} dy\int_0^{+\infty} (-e^{-u(x+y)})du  
Petit bug lateX je parlais du - devant -e^(-u(x+y))

Posté par
larrech
re : Egalité d'espérence 23-10-17 à 21:16

Erreur de ma part.  

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 23-10-17 à 21:35



  - e^{-ux}\int_0^{+\infty} gY(u) du

lorsque je remplace dans (1) je bloque car j'ai :

- (0 à + inf) e^(-ux)pxdx * (0 à +inf)*((0 à +inf) e^(-uy)pydy) du (j'ai remplacer gY par son expression) mais je n'ai pas directement le résultat, pouvez vous me donner un indice là où je me suis trompé.

Merci

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 23-10-17 à 21:41

larrech @ 23-10-2017 à 21:16

Erreur de ma part.  


Je ne pense pas que ce soit une erreur en fait parceque je dois montrer que c'est égale à -(0 à +inf) g'X(u)gY(u)du non ??

Posté par
larrech
re : Egalité d'espérence 23-10-17 à 22:15

Le signe moins n'a pas lieu d'être puisqu'en intégrant e^{-u(x+y)} par rapport à u de 0 à +\infty on doit trouver \dfrac {1}{x+y}

En remplaçant dans (1) on obtient

E(\dfrac{X}{X+Y})=\int_0^{+\infty}(\int_0^{+\infty}x p_x e^{-ux} dx )  gY(u) du=\int_0^{+\infty} E(Xe^{-uX})  gY(u) du=...

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 23-10-17 à 22:26

E[Xe^(-uX)] = -gX'(u) donc on trouve bien le résultat Thankss

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 24-10-17 à 07:55

      Bonjour,
Supposons que X et Y ont même loi je dois montrer que E(X/X+Y) = 0.5
Alors comment je procède :
X et Y ont même loi alors X et Y sont egales P-presque ssûrement
E(X/2X) = E(1/2) = 0.5 c'est correct?

Posté par
larrech
re : Egalité d'espérence 24-10-17 à 11:36

Non, ça ne me paraît pas avoir de sens.

En supposant que les 2 v.a.,  tout en ayant  même loi, restent indépendantes, on doit pouvoir utiliser la formule précédente.

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 24-10-17 à 17:04

Suis-je obliger de dire qu'elle sont indépendante?
La question n'indique pas qu'elles le sont

Posté par
larrech
re : Egalité d'espérence 24-10-17 à 17:39

On a deux v.a. distinctes X et Y et indépendantes comme dans la question qui précède mais qui suivent désormais la même loi. C'est comme ça que j'interprète l'énoncé (l'hypothèse d'indépendance avait permis d'écrire  p_{x,y}=p_x p_y ).

A moins qu'il y ait une autre façon de faire, mais je ne vois pas.

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 24-10-17 à 21:03

  Bonsoir,

E[X/X+Y] = (0 à +) x*px*dx * (0 à +) 1/(x+y) py dy.

Mais lorsque je fait le même raisonnement que le calcule précédent je ne trouve pas 1/2.

J'ai écris aussi que E[X/X+Y] = (0 à+) x/(x+y) pxpy dxdy mais cela ne m'avance pas non plus.

Bonne soirée.

Posté par
larrech
re : Egalité d'espérence 24-10-17 à 21:23

C'est l'intégrale portant sur g'X(u)gY(u) qu'il faut utiliser.

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 25-10-17 à 20:16

       Bonsoir larrech,

je suis replongé dans cette démonstration mais je n'ai pas dutout d'idée. Pourrais-tu amorcer une première égalité pour que je fasse le reste stp

Bonne soirée

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 25-10-17 à 20:43

J'ai que E[X/(X+Y)] = (0 à+inf) ( (0 à +inf) xe^(-ux) px dy * 0 à +inf) e^(-uy) py dy) qui est de par sa définition.

Puis je n'arrive pas à trouver en quoi si Y a même loi que X alors cela vaux 1/2 je bloque complètement.

Posté par
larrech
re : Egalité d'espérence 25-10-17 à 21:03

On a vu que

E(\dfrac{X}{X+Y})=-\int_0^{+\infty} g'X(u)  gY(u) du

Si Y suit la même loi que X,   gY(u)=gX(u)  et une primitive de g'X(u)gX(u) est \dfrac{g^2X(u)}{2}...

Reste à évaluer g(0) et g(+\infty)

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 25-10-17 à 21:56

Merci j"étais à côté de la plaque

On me demande d'en déduire que pour toute va à densité admettant m1(X). que lim u->+inf gX(u) = 0.

Je n'utilise pas les questions précédente pour le montrer mais le thm interversion limite intégrale.

Par définition gX(u) = \int_{0}^{+inf}{} \exp(-ux) px dx.

Or exp(-ux)px est intégrale par le critère de Riemann et lim u-->+inf exp(-ux)px converge simplement vers la fonction identiquement nulle.
On peut alors intervetir limite et intégrale.

\lim_{u\rightarrow +infini} gX(u) = \int_{0}^{+infini}{} \lim_{u\rightarrow +infini} \exp(-ux)px dx = \int_{0}^{+infini}{} 0dx = 0

Tu aurais une idée en utilisant les Q précédentes ? Sinon mon raisonnement est correct?

merci

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 25-10-17 à 22:10

On introduit une fonction h() \int_{0}^{+\infty }{exp(-x)*x^(\alpha -1)dx} >0. On me dit qu'il faut faire un changement de variable et de montrer que pour tout s>0 on a :

1/s^ = 1/h()\int_{0}^{+\infty }{exp(-su})*u^(\alpha -1)du  (le -1 est en puissance pas en produit)

je pose u = x^-1 du = (-1)x^(-2) dx mais je ne peux pas exprimer dx en fonction de du il me reste du "x" au dénominateur.

Posté par
larrech
re : Egalité d'espérence 25-10-17 à 23:22

Poser tout simplement x=su

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 26-10-17 à 16:21

   Merci Larrech,

Que peux tu me dire concernent mon post de 21h56 pour prouver sachant que j'ai prouver ce qu'on mon montre sans le déduire des Q précédentes

Posté par
larrech
re : Egalité d'espérence 26-10-17 à 17:14

Je ne sais pas. Je faisais aussi une interversion intégrale -limite. Il y a un truc qui m'échappe. Désolé.

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 26-10-17 à 18:14

D'accord pas de soucis,
J'ai réussi la question avec l'intégrale puis on me demande de déduire que E[1/X^] = 1/h()*\int_{0}^{+\infty }{gX(u)u^\((alpha -1)}du

Moi je dis que c'est égale à \int_{0}^{+\infty }{1/x^\alpha pxdx

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 26-10-17 à 19:11

Je pense qu'il faut montrer que le terme à droite de l'égalité est égale à celui de gauche :

\int_{0}^{+\infty }{(\int_{0}^{+\infty }{\exp (-ux)u^(\alpha -1) px dx}})du /{}( \int_{0}^{+\infty }{s^\alpha exp(-su)u^(\alpha -1)du)}

ps : (-1) est en puissance.

Posté par
larrech
re : Egalité d'espérence 26-10-17 à 19:14

Dans la formule qu'on vient d'établir, remplacer s par x.
Exprimer alors E(\dfrac{1}{X^{\alpha}}) sous forme d'une double intégrale (l'une par rapport à  x l'autre par rapport à  u) et intervertir les intégrations comme on l'a déjà fait un certain nombre de fois...

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 26-10-17 à 19:32

Je vien de réussir !!

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 26-10-17 à 19:35

Dernière question de mon exo (je parie que tu dois être content que ce soit la fin tu dois en avoir marre de moi )

On suppose X suit une (1), calculer gX.
Et déduire la valeur de \int_{0}^{+\infty }{1/((1+u)*u^(\alpha -1))} en fonction de h(). On pourra distingier 0<<1 et  >=1
alors la je m'embrouille complètement

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 26-10-17 à 19:43

calculer gX(u) est fait

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 26-10-17 à 19:45

Je trouve gX(u) = \lambda / (u+\lambda )

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 26-10-17 à 19:46

donc gX(u) = 1/1+u j'ai oublier de remplacer lambda par sa valeur

Posté par
Vialz
re : Egalité d'espérence 26-10-17 à 19:51

J'ai une idée.

Je remarque que E[X^) est égale à h()/\int_{0}^{+\infty }{1/((1+u)u^(1-\alpha ))}

1 2 +




Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !