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égalité de deux sommes

Posté par
LERAOUL 02-04-20 à 13:15

Bonjour!
S'il vous je cherche à démontrer cette égalité
\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{2k+1}{1-z^{2k+1}}}=n\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{1}{1+z^{k}}} où z=exp(\frac{i\pi }{n}) avec n un entier non nul.

De l'aide s'il vous plaît

Posté par
carpediemre : égalité de deux sommes 02-04-20 à 13:38

salut

\sum_{k = 0}^{n - 1} \dfrac {2k + 1} {1 - z^{2k + 1}} = \sum_{k = 0}^{n - 1} \left( (2k + 1) \sum_{p = 0}^{+\infty} (z^{2k + 1})^p \right)

la somme infinie est bornée car |z| = 1 ...

mais je ne sais pas si ça aide à la résolution du pb ... probablement qu'il va falloir faire une interversion des sommes ...

Posté par
carpediemre : égalité de deux sommes 02-04-20 à 13:41

ou alors réordonner les termes de la somme car z^{n + k} = -z^k ...

Posté par
Manstwre : égalité de deux sommes 02-04-20 à 13:44

Bonjour,

As-tu essayé avec cette méthode A = \sum_{k=0}^{2n}{\frac{(-1)^k*k}{1-z^{k}}} B = \sum_{k=0}^{2n}{\frac{k}{1-z^{k}}} et puis tu dis que ta somme est égale (B-A)/2 ?

Posté par
LERAOULre : égalité de deux sommes 03-04-20 à 06:33

JE NE VOIS PAS COMMENT FAIRE

Posté par
XZ19re : égalité de deux sommes 03-04-20 à 12:47

Bonjour
Ton problème ne me parait pas facile.  
Si tu regardes la partie réelle de chaque membre il n'y a  pas de problème.  
Mais pour la partie imaginaire je n'y arrive pas.
Malgré différentes tentatives je sèche...

  

Posté par
XZ19re : égalité de deux sommes 03-04-20 à 19:18

Rebonjour
Voici :  
\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{2k+1}{1-z^{2k+1}}=\sum_{k=1}^{2n-1}\dfrac{k}{1-z^{k}}-2\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{k}{1-z^{2k}}=\sum_{k=1}^{2n-1}\dfrac{k}{1-z^{k}}-\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{k}{1-z^{k}}-\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{k}{1+z^{k}}
=\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{n+k}{1-z^{n+k}}-\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{k}{1+z^{k}}
=\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{n}{1+z^{k}}
la dernière égalité étant valable z^n=-1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : égalité de deux sommes 03-04-20 à 20:33

Posté par
LERAOULre : égalité de deux sommes 08-04-20 à 20:14

bonsoir!

merci beaucoup!


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