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Egalité matricielle

Posté par
pyuzyy07 19-04-16 à 17:54

Bonjour, pourriez-vous me dire comment démontrer que pour tout entier naturel n, V_{n} = A^{n} V_{0} ,

si pour tout entier naturel n, on pose V_{n}=\U_{n}-C,

sachant que \U_{n}=\begin{pmatrix}x_{n} \\y_{n} \\ \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}\frac{5}{18} \\\frac{2}{9}\end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix}0,2&0,1\\0,2&0,3\end{pmatrix}

et que x_{0}=0,1 et que y_{0}=0,2, s'il vous plaît ?
Merci d'avance

***TEXTE REMIS EN FORME, FAIS APERÇU AVANT DE POSTER***

Posté par
fenamat84re : Egalité matricielle 19-04-16 à 18:17

Bonjour,

Exprimes V_{n+1} :

V_{n+1}=U_{n+1}-C
avec U_{n+1}=AU_n+P (tout dépend du début de ton exercice...P étant une matrice colonne 1*2)

Par ailleurs, tu as dû montrer qu'il existe une unique matrice C telle que C = AC + P.
Ainsi :

V_{n+1}=(AU_n+P)-(AC+P)=AU_n-AC=A(U_n-C)=AV_n.
Donc Vn est ...
Ce qui permet conclure.

Posté par
pyuzyy07re : Egalité matricielle 19-04-16 à 18:42

D'accord, merci beaucoup !
Le fait que V_{n+1}=AV_{n} équivaut-il à dire que V_{n}=A^{n}V_{0}, s'il vous plaît ?
Merci d'avance

Posté par
fenamat84re : Egalité matricielle 19-04-16 à 18:47

(Vn) est dans ce cas une suite géométrique !!
Dans ce cas, tu peux conclure.

Posté par
pyuzyy07re : Egalité matricielle 19-04-16 à 19:19

Ah oui !!
Merci beaucoup, j'ai compris !

Posté par
pyuzyy07re : Egalité matricielle 20-04-16 à 17:21

Ensuite, on me demande d'en déduire que pour tout entier naturel n, A^{n}=P\begin{pmatrix}0,4^{n}&0\\0&0,4^{n}\end{pmatrix}P^{-1}, sachant que P=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix} et D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0,4&0\\0&0,1\end{pmatrix}.
Pourriez-vous me dire comment faire, s'il vous plaît ?
Merci d'avance

Posté par
pyuzyy07re : Egalité matricielle 20-04-16 à 17:26

Excusez-moi, j'ai fait une erreur, c'est A^{n}=P\begin{pmatrix}0,4^{n} &0 \\ 0 & 0,1^{n} \end{pmatrix}P^{-1}.


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