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Égalité : pgcd et ppcm

Posté par
mimomaths 20-05-22 à 16:36

Salut tout le monde
SVP des idées pour cet exercice :
montrer que:
1)
(ab)\vee (ac) =(a\wedge c)((ab)\vee c)
2)
Si b \wedge c=a \wedge d alors: (ab)\vee (cd) = (a \vee c)( b \vee d)
Et merci

Posté par
malou Webmasterre : Égalité : pgcd et ppcm 20-05-22 à 16:40

Bonjour

tu n'as pas dit quelles pistes tu avais suivies pour le moment ? et pourquoi tu n'aboutis pas

Posté par
mimomathsre : Égalité : pgcd et ppcm 20-05-22 à 16:48

J'ai essayé d'utiliser
ppcm(a,b)*pgcd(a,b)=|ab|
Et ppcm(ab,ac)=|a|ppcm(b,c)
Mais malheureusement j'ai pu atteindre le résultat

Posté par
GBZMre : Égalité : pgcd et ppcm 20-05-22 à 16:57

Bonjour,

Pas étonnant , l'égalité de la première question est fausse. Prends a=b=c=2.
Vérifie ton énoncé.

Posté par
mimomathsre : Égalité : pgcd et ppcm 20-05-22 à 17:31

GBZM

GBZM @ 20-05-2022 à 16:57

Bonjour,

Pas étonnant , l'égalité de la première question est fausse. Prends a=b=c=2.
Vérifie ton énoncé.


Bonjour
Merci pour vos remarques.
après vérification de l'énoncé j'ai trouvé  le même contenu de la 1 ère question ( donc c'est une faute de frappe dans le TD)

Posté par
mimomathsre : Égalité : pgcd et ppcm 20-05-22 à 17:36

J'ai besoin de vos aides pour la deuxième question
Et merci

Posté par
GBZMre : Égalité : pgcd et ppcm 20-05-22 à 17:59

Un moyen est de raisonner sur les valuations p-adiques pour p premier. C'est une notion que tu connais ? Tu sais exprimer v_p(ab), v_p(a\wedge b), v_p(a\vee b) en fonction de v_p(a) et v_p(b) ?

Posté par
mimomathsre : Égalité : pgcd et ppcm 20-05-22 à 20:10

*modération* >citation inutile supprimée*

J?ai essayer d?écrire les membres de l?égalité  de la deuxième questions sous forme de produit de facteurs premiers
Mais j?ai trouver des difficultés d?utiliser le fait que a\wedge d=1 et b\wedge c=1

Posté par
mimomathsre : Égalité : pgcd et ppcm 20-05-22 à 20:51

*modération* >citation inutile supprimée*

Je m?excuse j?ai oublier de mentionner que dans la question 2 on a
b \wedge c=a \wedge d=1
c-à-d la question 2:
Montrer que:
Si b \wedge c=a \wedge d=1 alors: (ab)\vee (cd) = (a \vee c)( b \vee d)

Posté par
GBZMre : Égalité : pgcd et ppcm 20-05-22 à 22:46

Tu ne me réponds pas sur les valuations p-adiques. Connais-tu, oui ou non ?
Par ailleurs il me semble bien que ça marche sans le "=1" que tu as ajouté.

Posté par
mimomathsre : Égalité : pgcd et ppcm 20-05-22 à 23:46

*modération* >citation inutile supprimée*

Non je ne connais pas les valuations
Y-a t il autre méthode
Et merci

Posté par
GBZMre : Égalité : pgcd et ppcm 21-05-22 à 12:04

"La valuation p-adique de n" est un gros mot pour l'exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de p (0 si p n'apparaît pas).
Deux entiers naturels >0 sont égaux si et seulement si leurs valuations p-adiques sont égales pour tout premier p.
Maintenant que tu sais la définition de "valuation p-adique", tu vois sans doute ce qu'est la valuation p-adique d'un produit, d'un pgcd, d'un ppcm.
Cet outil me semble le plus simple pour traiter le problème. Après, des goûts et des couleurs ...

Posté par
GBZMre : Égalité : pgcd et ppcm 02-06-22 à 09:23

Le questionneur a abandonné ce fil.
J'indique comment traiter la deuxième question en utilisant  les valuations p-adiques (notées v_p).

Échanger simultanément a avec d et b avec c ne change pas l'énoncé. On peut donc toujours  supposer v_p(a)\leq v_p(d) sans perte de généralité.
L'hypothèse  a\wedge d=b\wedge c entraîne alors que v_p(a)=\min(v_p(b),v_p(c)). Deux cas se présentent :

1) v_p(a)=v_p(b)\leq v_p(c). Alors v_p((ab)\vee(cd))=\max(v_p(a)+v_p(b), v_p(c)+v_p(d))=v_p(c)+v_p(d) et v_p((a\vee c)(b\vee d))=\max(v_p(a),v_p(c))+\max(v_p(b),v_p(d))=v_p(c)+v_p(d).

2) v_p(a)=v_p(c)< v_p(b). Alors v_p((ab)\vee(cd))=\max(v_p(a)+v_p(b), v_p(c)+v_p(d))=v_p(a)+\max(v_p(b),v_p(d)) et v_p((a\vee c)(b\vee d))=\max(v_p(a),v_p(c))+\max(v_p(b),v_p(d))=v_p(a)+\max(v_p(b),v_p(d)).

Dans les deux cas, v_p((ab)\vee(cd))=v_p((a\vee c)(b\vee d)). Comme ceci a lieu pour tout premier p, on conclut que (ab)\vee(cd)=(a\vee c)(b\vee d).


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