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Egalité topologique

Posté par
Serbiwni 06-03-21 à 23:55

Bonsoir, je débute en topologie et je dois prouver ({\overline{E}})^C=\mathring{(E^C)} en ne connaissant que les définitions basiques de la topologie (ouvert, fermé, adhérence, bord, etc). Voici ma proposition qui me semble longue mais du moins solide (ou peut-être pas) :
2 lemmes que j'ai jugé utile de montrer :
\bullet (\partial E)^C = \mathring{E} \cup (\mathring{E^C}) :

Soit x \in (\partial E)^C,  alors \exists \delta_x > 0 \text{ tel que } B(x,\delta_x) \cap E = \emptyset \text { ou } B(x,\delta_x) \cap E^C = \emptyset   

  \implies x \in (\mathring{E^C}) \text { ou } x \in \mathring{E} \implies (\partial E)^C \subset \mathring{E} \cup (\mathring{E^C})

Soit x \in \mathring{E} , \exists \delta_x \in ]0,+\infty[, \text { tel que } B(x,\delta_x) \subset E \implies x \notin \partial E .

Soit x \in \mathring{E^C} , \exists \delta_x \in ]0,+\infty[, \text { tel que } B(x,\delta_x) \subset E^C \implies x \notin \partial E .

Donc \mathring{E} \cup (\mathring{E^C}) \subset (\partial E)^C  et (\partial E)^C = \mathring{E} \cup (\mathring{E^C}) .


\bullet  \mathring {(E^C)} \subset (\mathring{E})^C   :

Soit x \in \mathring {(E^C)}, \exists \delta_x > 0 \text{ tel que } B(x,\delta_x) \subset E^C \implies x \notin \partial (E^C) \iff x \notin \partial E .

Supposons par l'absurde que x  appartienne à \mathring{E}  alors vu le choix de x , on aurait que x \in \partial E  ou x \in \emptyset , contradiction. Donc x \notin \mathring{E} \implies x \in (\mathring{E})^C   

Montrons à présent que ({\overline{E}})^C=\mathring{(E^C)}  
({\overline{E}})^C = (\mathring E \cup \partial E)^C = (\mathring E)^C \cap (\partial E)^C = (\mathring E)^C \cap (\mathring E \cup \mathring {(E^C)}) = ((\mathring E)^C \cap \mathring E) \cup (\mathring {(E^C)} \cap (\mathring{E})^C)  
({\overline{E}})^C = \emptyset \cup \mathring {(E^C)}  car \mathring {(E^C)} \subset (\mathring{E})^C \implies \mathring {(E^C)} \cap (\mathring{E})^C = \mathring {(E^C)} .
On en déduit que ({\overline{E}})^C = \mathring {(E^C)}

Qu'en pensez-vous ? Le très peu de preuves concernant ce type d'égalité en topologie contenaient au maximum 3 lignes, ici j'ai essayé de tout prouver sinon on allait m'embeter mais je trouve que j'ai du me compliquer la vie quelque part (malgré le fait que je pense avoir fait le plus court possible en étant rigoureux).

Posté par
Maru0re : Egalité topologique 07-03-21 à 00:35

Bonjour,

Je n'ai pas vraiment compris la partie

Citation :
Supposons par l'absurde que  x  appartienne à  \mathring{E}  alors vu le choix de  x , on aurait que  x \in \partial E  ou  x \in \emptyset , contradiction. Donc  x \notin \mathring{E} \implies x \in (\mathring{E})^C  

Ton raisonnement fonctionne, mais ce n'est pas le style de raisonnement qui est le plus efficace. Honnêtement j'ai souffert en le lisant
Pour ce genre de propriétés, il est utile de penser à l'adhérence (resp. intérieur) comme le plus petit fermé contenant ... (resp. plus gros ouvert contenu dans ...)

\overline{E} est le plus petit fermé contenant E et \overset{\circ}{E^C} est le plus gros ouvert contenu dans E^C
Or \overline{E}^C est un ouvert inclus dans E^C, donc il est inclus dans \overset{\circ}{E^C}, c'est-à-dire \overline{E}^C \subset \overset{\circ}{E^C}

Puis \overset{\circ}{E^C}^C est un fermé contenant E, donc contenant \overline{E}, c'est-à-dire \overset{\circ}{E^C} \subset \overline{E}^C

Posté par
Serbiwnire : Egalité topologique 07-03-21 à 00:54

Nous n'avons pas encore été habitué à travailler avec ces notions de plus petit fermé etc, mais c'est extrêmement efficace.

En effet, cette partie était frauduleuse je ne savais pas trop comment m'exprimer la-dessus, je suis convaincu du résultat et tout est bien dans ma tête mais je ne sais pas comment le formuler rigoureusement.

Citation :
Supposons par l'absurde que  x  appartienne à  \mathring{E}  alors vu le choix de  x , on aurait que  x \in \partial E  ou  x \in \emptyset , contradiction. Donc  x \notin \mathring{E} \implies x \in (\mathring{E})^C  

Posté par
Maru0re : Egalité topologique 07-03-21 à 01:02

J'aurais aussi du mal à le formuler rigoureusement, donc je propose une autre démonstration :

On veut montrer \overset{\circ}{E^C} \subset \overset{\circ}{E}^C
On a \overset{\circ}{E^C} \subset E^C
Donc il suffit de montrer E^C \subset \overset{\circ}{E}^C
Donc il suffit de montrer \overset{\circ}{E} \subset E
Du coup c'est bon

Posté par
Serbiwnire : Egalité topologique 07-03-21 à 01:35

Très juste je préfère largement ça merci

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Egalité topologique 08-03-21 à 08:57

Bonjour,
Serbiwni, peux-tu mettre à jour ton profil ?

Posté par
Ulmierere : Egalité topologique 08-03-21 à 13:15

Sans parler de plus petit fermé, tu peux te servir des deux caractérisations
1) un point est adhérent à E si et seulement si tout ouvert le contenant intesecte E
2) un point est intérieur à E si et seulement s'il existe un ouvert le contenant qui est entièrement inclus dans E

Ce faisant si x est dans le complémentaire de Adh(E), il ne peut être dans E (parce que E est inclus dans son adhérence), et il existe un ouvert le contenant qui n'intersecte pas E (c'est-à-dire, qui est entièrement inclus dans le complémentaire de E). Autrement dit, x est dans l'intérieur du complémentaire de E, et on a montré le sens Adh(E)^c \subseteq Int(E^c).

Réciproquement, si x est dans l'intérieur du complémentaire de E, il y a un ouvert qui le contient et qui est inclus dans Int(E^c), donc dans E^c, et donc ne rencontre pas E. Donc x n'est pas dans l'adhérence de E, et on a montré Int(E^c)\subseteq Adh(E)^c.


Sous forme d'équivalence, soit x\in X un point de notre espace topologique

\begin{array}{lcl} \\ x\in Adh(E)^c &\Longleftrightarrow& x\notin Adh(E)\\ \\ &\Longleftrightarrow& \exists V\in O(X) : x\inV\wedge V\cap E=\emptyset\\ \\ &\Longleftrightarrow& x\notin E\wedge \exists V\in O(X) : x\inV\wedge V\cap E=\emptyset\\ \\ &\Longleftrightarrow& x\in E^c\wedge x\in Int(E^c)\\ \\ &\Longleftrightarrow& x\in Int(E^c) \\ \end{array}

Posté par
Serbiwnire : Egalité topologique 08-03-21 à 20:01

Merci Ulmiere. Pour une raison que j'ignore je voulais vraiment éviter de faire une double inclusion je ne sais pas pourquoi


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