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Egalités dans un triangle équilatéral et son cercle circonscrit
Bonjour !
Voici un exercice sur lequel nous devions réfléchir pendant les vacances. J'ai un problème avec la toute dernière question.
Le but de cet exercice est de montrer que, si ABC est un triangle équilatéral et que (C) est son cercle circonscrit, alors pour tout point M de (C), on peut vérifier l'une des égalités suivantes :
MA=MB+MC
MB=MA+MC
MC=MA+MB
La première question demande prouver cette conjecture si M est confondu avec un des sommets du triangle (réussie)
La deuxième, de prouver cette conjecture si M est sur la médiatrice de l'un des côtés (réussie)
La troisième, de prouver cette conjecture si M appartient à l'arc AB ne contenant pas les point A, B et C.
Pour cette question, on commence par faire une figure : tracer le triangle équilatéral ABC, son cercle circonscrit, puis choisir un point M comme indiqué et tracer le cercle (C') de centre M et de rayon MB. Ce cercle coupe le segment [MC] en B'. On admet que le triangle MBB' est équilatéral.
Voilà ce que j'ai fait pour l'instant :
- On veut prouver que MC=MA+MB
- Comme B' appartient à [MC], on a : MB'+B'C=MC.
- Comme le triangle MBB' est équilatéral, MB=MB', d'où MC=MB+B'C
Reste donc à prouver que B'C=MA... et c'est justement ce qui me pose problème ! J'aurais donc besoin de pistes ou d'éléments de solution, d'une méthode peut-être...
Je vous remercie d'avance de l'attention que vous avez porté à ce sujet.
*portée (avec un e, dans la dernière phrase)... Je suis assez à cheval sur l'orthographe 
et comme ça le topic remonte dans la liste !
J'aurais vraiment besoin d'aide... Je vais simplifier le problème : voici l'image (rapidement esquissée sur paint, ce n'est pas une qualité superbe mais ça sera sûrement plus clair) correspondant à l'énoncé, et ma question :
Les triangles ABC et CBB' sont équilatéraux. Comment prouver que B'C=MA ?
Merci d'avance !
Bonjour ,
une piste : justifier que les triangles AMB et CB'B ont leurs angles respectivement égaux, et comme BB' = BM (ou BC = BA, il y a pléthore de raisons) ils sont isométriques (superposables) et donc AM = CB'
Merci beaucoup pour cette explication ! C'était très simple en fait. Je m'en souviendrai pour de futurs problèmes !
Une autre façon de voir les choses (ça dépend de ce qu'on connait) est de considérer la rotation de centre B et d'angle 60°
avec les deux triangles équilatéraux connus, A 
B et M B'
donc [AM] [CB'] et sont donc égaux.
Merci pour ces explications ! On n'a pas encore vu les rotations en cours, mais j'ai compris, donc je vais mettre les deux solutions.
Merci encore d'avoir pris du temps pour me répondre, en plus avec des explications très claires !
Il peut être intéressant aussi de considérer la phrase
On admet que le triangle MBB' est équilatéral.
démontrer que le triangle MBB' est équilatéral
vois tu comment faire ?
indice : un triangle isocèle avec un angle de 60° est équilatéral
Oui, je n'aime pas non plus les énoncés où l'on admet" quelque chose, donc je l'ai déjà démontré sur ma copie avant de faire la question !
on est bien d'accord sur ces "on admet"
soit cela cache une démonstration pas du niveau
soit c'est "par paresse", "c'est trop long, ça ne fait pas l'objet de l'exo et on fera l'impasse"
ici c'était parfaitement injustifié puisque la démonstration en est courte, et du niveau.
les "on admet" sont source de frustration et l'élève "paresseux" admettra sans se poser de question
l'élève curieux se posera immédiatement la question "pourquoi donc"
très bonne réaction donc.
mais attention : en concours ou examen le "on admet" peut faire économiser un temps précieux si "on admet" sans se poser de question !
C'est vrai que la plupart du temps, en interro, je laisse les "on admet" pour la fin, ainsi si j'ai terminé avant la fin je peux faire les démonstrations sans perdre de temps.
Mais même quand ce n'est pas du niveau, je suis capable de harceler mes profs pour qu'ils me démontrent quelque chose... Et je fais régulièrement des démonstrations chez moi pour ne pas perdre la main, quitte quand c'est trop dur à les regarder sur Internet, puis fermer la page web et la rédiger correctement à ma sauce ! Mais c'est assez amusant, et puis quand on aime les maths, c'est tout sauf une corvée !
En tous cas, merci pour ton aide qui m'a té très utile !
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