Annuler
connectez vous
logique en post-bac
- Description de mathématique formelle-termes et relations
- Théorèmes
- Théories logiques
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LogiqueTopics traitant de logique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Prepa (autre)
Égalités / inégalités partie entière
Posté par AlexQuiFlex
Bonjour, voici un exercice qui me pose problème :
Démontrer que pour tout x dans R,
a) 0<= E(nx) - nE(x) <= n-1
b) E[E(nx)\n] = E(x)
Pour la a), j'ai utilisé la définition de la partie entière avec les inégalités, et j ai obtenu, à l'erreur de calcul près :
-nE(x)-n< -nx <= -nE(x)
Et,
E(nx)<= nx < E(nx)+1
En combinant les inégalités obtenues :
-1<= E(nx)-nE(x) <= n
Je ne suis pas loin du résultat attendu mais je n'arrive pas à voir où ça coince.
Pour la b), toujours en utilisant la definition d'une partie entiere :
nx< E(nx)+1 donc E(nx)/n < x et comme E est croissante d'après le cours,
E[E(nx)/n]<E(x)
De plus, par déf,
E[E(nx)/n]<= E(nx)/n < E[E(nx)/n] + 1
Donc,
E[E(nx)/n]<= E(nx)/n < E(x) + 1
Et là ça bloque, je ne pense pas être sur la bonne voie, peut-être qu'une récurrence marcherait mais je ne pense pas que ça soit le but de l'exercice.
Avez-vous des conseils ? Merci d'avance
salut
je poserai plutôt : p =E(x) et donc p <= x < p + 1
et jouer sur cette inégalité puisqu'on en déduit aussi x - 1 < p
donc on a x - 1 < p <= x
puis je multiplie par n ...
Merci, grace a vos indications, j ai réussi la 1ere inégalité de a) mais la 2e me pose encore qlq problèmes :
On a p<=x-1, on multiple par n>0,
np<=nx-n
Comme E croissante et n entier naturel,
np<=E(nx)-n
ie E(nx)-E(x)n<=n
Je ne vois pas comment obtenir le "n-1"
Excusez moi, c'etait une faute de frappe, :
On a p>=x-1, on multiple par n>0,
np>=nx-n
Comme E croissante et n entier naturel,
np>=E(nx)-n
ie E(nx)-E(x)n<=n
non la dernière inégalité est fausse ... par manque de rigueur ..
compare avec moi et avec l'énoncé ...
Ah mais oui, c est une inégalité stricte, et comme c'est un entier, on obtient le "n-1" avec <= , comme quoi le manque de rigueur...
merci beaucoup pour votre aide