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élément irréductible dans un anneau
Bonsoir tout le monde.
J'ai un peu de mal avec la notion d'élément irréductible dans un anneau. Voici d'abord la définition de mon cours:
Définition: Soit A un anneau (unitaire). Soit p un élément non nul de A. On dit que p est irréductible si p n'est pas inversible et si p=ab alors soit a est inversible soit b est inversible.
Alors, moi d'une certaine manière je vois ça déjà comme une sorte de généralisation des nombres premiers dans l'anneau Z qui correspondent aux éléments irréductibles de Z. Est-ce bon déjà ?
A partir de là (et aussi pour les besoins d'une démonstration) je me suis posé la question de savoir si ils vérifiaient toutes les propriétés usuelles des nombres premiers (ie les propriétés qu'on utilise sans même réfléchir et sans même jamais les avoir vraiment démontré tellement c'est évident).
Par exemple, est-ce que (1) si a est un élément de A est-ce que an est réductible ?
Ou encore (2) si a et b sont irréductible alors ab réductible.
(3) a et b réductible implique ab réductible.
j'ai réussi à montré (1) et (2) mais pour le (3) j'ai un problème. Je poste les démos de (1) et (2) pour confirmation.
Démonstration:
(1) avec n=2 pour simplifier. suposons par l'absurde que a² est irréductible. Alors par définition: a
0, a n'est pas inversible et a=bc implique b ou c est inversible. Mais a²=aa donc a ou a est inversible ie a est inversible. Mais si a est inversible alors a² est inversible (d'inverse a-1a-1=a-2) ce qui est absurde car a n'est pas inversible !
(2) on note p=ab et on suppose par l'absurde que p est irréductible. Alors a ou b est inversible. Mais a et b ne sont pas inversibles car ce sont des éléments irréductibles !
(3) p=ab. Par l'absurde on suppose que p est irréductible. Alors a ou b est inversible. Supposons que a soit inversible et on note i son inverse. Mais a est réductible donc a=uv avec ni u ni v inversible. On a: 1=ia=i(uv)=(iu)v donc là je suis tenté de dire donc v est inversible d'inverse iu ce qui contredit l'hypothese v non inversible. Problème on n'est pas dans un anneau commutatif et je n'arrive pas à montrer que iu est aussi l'inverse à droite de v.
Bon, une fois tout ça pris en compte voila un petit raisonnement à priori simple mais comme je suis pas trop à l'aise avec ce genre de chose encore je préfére le poster ici pour qu'on me confirme.
On considére les entiers de Gauss. On remarque que Z est un sous-anneau. Soit p un nombre premier. On a montré que p est réductible dans l'anneau des entiers de Gauss (alors qu'il est irréductible dans Z).
Donc il existe a,b,c,d entiers tels que p=(a+ib)(c+id) avec ni a+ib ni c+id inversible. En multipliant par le conjugué on a: p²=(a²+b²)(c²+d²). Comme p est premier alors:
a²+b²=1 ou p ou p². Mais si a²+b²=p² alors forcement c²+d²=1 et donc (c+id)(c-id)=1 donc c+id est inversible dans l'anneau des entiers de Gauss. Ce qui contredit l'hypothèse c+id non inversible. De même, a²+b² est différent de 1. Donc: a²+b²=p.
Est-ce correct ? (ceci a été fait pour montrer le théorème de fermat des deux carrés avec p congru à 1 modulo 4)
Une derniere chose à propos des anneaux factoriels:
Définition de mon cours:
Soit A un anneau (unitaire). On dit que A est factoriel si tout élément a dans A peut se factoriser en produit d'éléments irréductibles . De plus, cette factorisation est unique à l'ordre près des facteurs et multiplication par des inversibles près.
En fait, je ne comprend pas la dernière phrase vraiment. Je vois pas pourquoi l'ordre des facteurs n'est pas importants car à priori l'anneau n'est pas commutatif donc déjà je vois pas pourquoi la décomposition de a est de cette forme ie avec tout les puissances d'un même élément regroupé.
Merci d'avance de votre aide.
Bonsoir,
que de questions! 
Alors, moi d'une certaine manière je vois ça déjà comme une sorte de généralisation des nombres premiers dans l'anneau Z qui correspondent aux éléments irréductibles de Z. Est-ce bon déjà ?
-> Oui, tout à fait! On essaie de généraliser ce qui est depuis longtemps connu pour Z.
(1), (2) et (3) sont triviales, tu n'as pas besoin de systématiquement t'embêter avec des raisonnements par l'absurde!
Ta preuve de (1) est très bien (à condition de remplacer a par
En voici une autre preuve, faite dans le sens direct.
(1) ne vaut que pour
De deux choses l'une :
*soit a est nul ou inversible, auquel cas
* soit a n'est ni nul ni inversible, auquel cas l'élément
Pour (2) : l'élément c = ab est clairement réductible, puisqu'aucun des facteurs a et b n'est inversible!
(si a et b sont irréductibles, ils sont aussi en effet non inversibles).
Pour (3): si a et b sont réductibles, alors:
* soit l'un au moins est nul, donc ab, qui est nul, est réductible
* soit les deux sont inversibles, auquel cas leur produit, qui est inversible, est en particulier réductible
* soit au moins l'un des deux est non inversible, par exemple a.
Dans ce cas, a s'écrit a1a2 où aucun des facteurs n'est inversible.
Alors, a2b n'est pas inversible; sinon, il existerait u tel que a2bu=e, qui s'écrirait a2(bu)=e, en contradiction avec le fait que a2 n'est pas inversible.
On en conclut que ab, qui s'écrit comme le produit des éléments non inversibles a1 et a2b, est lui aussi réductible.
Remarque:
il est également vrai que si au moins l'un des éléments a ou b est réductible, alors ab l'est encore.
Pour l'anneau Z[i], ta démo est correcte si vous avez déjà prouvé que tout entier premier p était réductible dans Z[i].
Juste un petit détail peut-être au début:
Donc il existe a,b,c,d entiers tels que p=(a+ib)(c+id) avec ni a+ib ni c+id inversible
à compléter par "puisque p n'est ni nul, ni inversible dans Z[i], vu que son inverse dans l'anneau R, qui contient Z[i], est
Quant à ta dernière question, dans mes souvenirs, on exige, dans la définition d'un anneau factoriel, qu'il soit commutatif.
A vérifier!
J'en reviens à l'anneau des entiers de Gauss:
ça aurait dû me sauter aux yeux, mais il est évident que tous les nombres premiers ne sont pas réductibles dans !
Par exemple, l'est, mais 3
ne l'est pas : tu ne trouveras jamais deux entiers
et
tels que
!
Ta question ne serait-elle pas plutôt de déterminer tous les entiers premiers qui sont réductibles dans
?
Ouah merci tout est clair maintenant.
Nan en fait le prof n'a jamais dit que tout entier premier est réductible dans Z[i] mais les entiers p congru à 1 modulo 4.
C'est justement pour montrer le théorème des deux carrés de Fermat:
Soit p un nombre premier congru à 1 modulo 4. Alors p est somme de deux carrés d'entiers. Donc dans la démonstrtion on avait pris p=1[4] voila.
Sinon, c'est bizarre pour l'anneau factoriel parce ni dans le cours d'amphi, ni dans le polycopié le prof à précisé que l'anneau devait être commutatif. En fait, en début de semestre il a précisé qu'on ne travaillerait jamais avec des anneau non comutatif donc je pense que les 3/4 du temps il omet de le dire mais du coup selon moi ça pose pas mal de problème à savoir si on a vraiment besoin de la commutativité ou non. Enfin bref moi je préférai qu'il dise commutatif parce que du coup dans les exos ou à l'exam si on n'est pas sur on fait comment ? Je pense qu'il faut être plus rigoureux que ça.
Autre chose quand tu dis: "puisque p n'est ni nul, ni inversible dans Z[i], vu que son inverse dans l'anneau R, qui contient Z[i], est 1/p" tu veux plutot dire son inverse dans l'anneau C est 1/p et comme Z[i] est un sous anneau de C son inverse serai le même si il était inversible dans Z[i] et comme 1/p n'est pas un entier de Gauss alors par l'absurde il n'est pas inversible.
Dernier détail. Donc si je relis ta démo pour 3 je me rend compte que tu te poses pas le problème qui me génait dans ma démo à savoir tu montre l'inverse à droite masi pas l'inverse à gauche. En fait, tu montres que c'est inversible à droite et tu en conclu directement l'inversibilité tout court mais pour moi si c'est pas commutatif il faut à priori vérifié à droite et à gauche nan ?
Salut!
Il est a peu pres clair que ton cours se place toujours dans un cadre commutatif, la notion d'irréductibilité, d'intégrite, de factorialité ne sont usuellement definies que dans un anneau commutatif.
L'algèbre non commutative est tres differente de l'algèbre commutative, et on enseigne pas les deux dans un meme cours en general.
De plus si ton prof a precisé que tous les anneaux seraient commutatifs dans le cours, alors tu n'as meme pas a te poser la question.
Ok merci. je pense que tu as raison. Mieux vaut ne pas trop se casser la tête sur ça non plus.
C'est vrai aussi que le prof nous a aussi indiqué que la théorie des anneaux non commutatif n'avait pas grand intérêt en fait.
Salut tout le monde!
Bon c'est bien ce qu'il me semblait pour le caractère commutatif d'un anneau factoriel.
Autre chose quand tu dis: "puisque p n'est ni nul, ni inversible dans Z[i], vu que son inverse dans l'anneau R, qui contient Z[i], est 1/p" tu veux plutot dire son inverse dans l'anneau C est 1/p et comme Z[i] est un sous anneau de C son inverse serai le même si il était inversible dans Z[i] et comme 1/p n'est pas un entier de Gauss alors par l'absurde il n'est pas inversible.
-> Exactement!
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