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ellipse d'or

Posté par amethyste 06-03-16 à 21:33

Salut

ce qui est marrant c'est la racine cubique en dessous ->

soit une ellipse de demi grand axe $a=\varphi =\frac {1+\sqrt {5}}{2}$ le nombre d'or  et de demi petit axe   $b=1$ et on note   $\epsilon =\sqrt {1-\frac {1}{\varphi ^2}}$ son excentricité

alors en posant   $\epsilon _{\gamma }=-2+\sqrt {5}$ et en posant   $\gamma =\frac {\epsilon }{\epsilon _{\gamma }}$ alors on vérifie   $\epsilon _{\gamma }=\frac {w-\sqrt {w^2-1}}{\gamma }$

avec   $w=\frac {1}{6}\begin {pmatrix} \frac {1}{\gamma }-\gamma +2\sqrt [3]{-\gamma ^3 +39 \gamma  +\frac {15}{\gamma }+\frac {1}{\gamma ^3} } \end {pmatrix}$

Posté par re : ellipse d'or 07-03-16 à 10:01

Bonjour

C'est bien exact mais curieusement $\epsilon _{\delta }$ = $\sqrt{5 }$ /10

Posté par re : ellipse d'or 07-03-16 à 10:03

plus exactement $\varepsilon \gamma _{}$ = $\sqrt{5}$ /10

Posté par re : ellipse d'or 07-03-16 à 10:06

En refaisant les calculs

$\epsilon _{\gamma }$ = $\sqrt{5}$ -2

Posté par re : ellipse d'or 07-03-16 à 15:19

salut Dpi  oui car en fait

$\epsilon_ {\gamma}=-2+\sqrt {5}$ est la racine inférieure de l'équation $-1+4x+x^2=0$ de sorte que $\frac {1}{\epsilon_ {\gamma}}=4+\epsilon_ {\gamma}$

par ailleurs que concernant ce w on vérifie aussi

   $w=\frac {1}{\sqrt {(1+\epsilon_ {\gamma}).(1-\epsilon_ {\gamma})}}=\frac {1}{6}\begin {pmatrix} \frac {1}{\gamma }-\gamma +2\sqrt [3]{-\gamma ^3 +39 \gamma  +\frac {15}{\gamma }+\frac {1}{\gamma ^3} } \end {pmatrix}$

______________________________________________

cependant il va de soi que tout ceci ne présente strictement aucun intérêt et c'est la raison pour laquelle j'explique ci-dessous pourquoi  j'ai fait ressortir une racine cubique dans tout ça et justifier un peu ce thread (un peu en tout cas)

pour ce faire on va parler un peu des ellipses d'excentricité $\epsilon_ {\gamma}$

mais auparavant une figure s'impose et on se réferera aux notations de la figure  ci-contre

On se place dans le repère canonique O,i,j

(dans cette figure l'axe X est placé verticalement)

$ellipse d\'or$

le Point $A=O=(0,0)$ appartiens à l'ellipse
le Foyer $F=(0,\alpha )$
le second foyer   $F^{\prime }=(0,2a-\alpha )$
la droite directrice $\Delta$ et l'autre droite directrice $\Delta ^{\prime}$
la droite directrice   $\Delta$ coupe l'axe Y perpendiculairement au point $(0,-\beta )$

de sorte que $\alpha + \beta$ donne la distance entre le foyer F et la droite directrice     $\Delta$

______________________________________

Soient sont donnés uniquement (et uniquement seulement)   $b$ et $\beta$

il s'agit alors de rechercher le demi grand axe a

Solution

on pose

$N=\sqrt {\frac {11+\sqrt {125}}{2}}$ et $K=-\frac {\beta ^3}{b^3}+\frac {39.\beta}{b}+\frac {15.b}{\beta }+\frac {b^3}{\beta ^3}$

Alors

*lorsque $\frac {\beta }{b}=N$ on obtiens:

$a=\frac {b}{6}.\begin {pmatrix} \frac {b}{\beta}-\frac {\beta }{b}+ 2.\sqrt [3]{K} \end {pmatrix}$

et d'ailleurs dans ce cas cela signifie que l'ellipse est d'excentricité $\epsilon_ {\gamma}=-2+\sqrt {5}$

*lorsque $\frac {\beta }{b}<N$ on obtiens:
$a=\frac {b}{6}.\begin {pmatrix} \frac {b}{\beta}-\frac {\beta }{b}+ \sqrt [3]{K+6\sqrt {3L}}+\sqrt [3]{K-6\sqrt {3L}} \end {pmatrix}$ avec $L=-\frac {\beta ^4}{b^4}+\frac {11. \beta ^2}{b^2}+1$

*lorsque $\frac {\beta }{b}>N$ on obtiens:

$a= \frac {b}{6}.\begin {pmatrix}\frac {b}{\beta}-\frac {\beta }{b }+ 2.\sqrt {\frac {\beta ^2}{b ^2}+\frac {b^2}{\beta ^2}+10}.cos\begin {pmatrix}\frac { arccos \begin {pmatrix} \frac {K}{\sqrt {M} } \end {pmatrix} }{3}\end {pmatrix} \end {pmatrix}$

avec $M=\frac {\beta ^6}{b^6}+\frac {30.\beta ^4}{b^4}+\frac {303.\beta ^2}{b^2}+\frac {b^6}{\beta ^6}+\frac {30.b^4}{\beta ^4}+\frac {303.b^2}{\beta ^2}+1060$