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Niveau terminale
Empilement de sphere
Posté par DraZ (invité)
Salut a tous,c'est pas que c'est compliqué mais en fait je trouve ca compliqué ^^:
problème:
on cherche a empiler des oranges de la maniere la + compacte possible; les orangs sont sensées etres des sphere de rayon r.dans chaque niveau les oranges sont disposé en réseau a maille carrées;
a-on examine la disposition ou les oranges d un niveau sont exactement a la verticale des oranges du niveau inferieur;quel est le volume d'une maille elementaire ( = un cube constitué des centres de 8 oranges contigues )? a l interieur de cette maille quel est le volume occupé par les oranges?
b-Memes questions lorsque les oranges d'un niveau sont posé dans les creux formé par 4 oranges contigues du niveau inferieur, la maille du reseau doit etre porse sur 3 niveaux
c-Meme question lorsque les oranges d un niveau sont posé en equilibre dans le creux formé par 2 oranges du niveau inferieur ( trois niveaux )
d-quel est le reseau le + dense
Bon je me suis dit qu'il fallai pas paniqué en lisant ca ... j'ai reussi le a- et je tombe sur une densité de 0.52 soit 52% de l'espace occupé
mon gros souci pour les question suivante est de savoir quel maille je doit prendre.
je n'arrive pas a obtenir de cube ( logique si on fait une figure on obtient un rectangle relian les centres de 8 oranges ).d'apres l enoncé le reseau est a maille carré sur tous les niveau donc dans tous les cas ma maille devrai avoir une base carré aussi , reste a savoir quel forme de maille prendre :-S.
dsl si mes explication de sont pas tres claires mais je n'ai moi meme pas tout saisi.
merci pour vos reponses.
Posté par Ghostux (invité)re : Empilement de sphere
Hum, je suis plutot d'accord pour le 52%
Pour le deuxieme, chaque arrete du carré suivant, a une orange de moins que le carré précedent (inférieur).
Donc s'il y a x<sup>2</sup> oranges à n, il y aura (x-1)<sup>2</sup> oranges à n+1 .
Sur trois niveaux, tu dois avoir:
x<sup>2</sup> + (x-1)<sup>2</sup> + (x-2)<sup>2</sup> = nombre total d'oranges. (en developpant ca fait 3x<sup>2</sup> - 6x + 5 )
Alors on va supposer que cet empilement forme une pyramide à base carrée. Donc (x-2)<sup>2</sup> = 1. En tout il y a donc 1+4+9, soit 14 oranges. Volume des oranges : 14*4/3*pi*r<sup>3</sup>. Volume de l'espace : (1/3)*base*hauteur , la base vaut (2*r*3)^2 , et la hauteur, c'est un peu plus compliqué. Chaque arrete de la pyramide vaut 3 oranges, (donc 2*r*3). Je pose (ce sera plus simple) 2*r*3=A , base = A<sup>2</sup> , je cherche la diagonale de la base. Elle vaut 
(2*A<sup>2</sup>).
Maintenant on peut former un triangle dont la hauteur de la pyramide est l'un des cotés. On prend celui où l'hypotenuse est de trois oranges (une arrete issue du sommet) et on a:
h<sup>2</sup> + (((2*A<sup>2</sup>)/2)<sup>2</sup> = A<sup>2</sup>
h<sup>2</sup> + (2*A<sup>2</sup>)/4 = A<sup>2</sup>
h<sup>2</sup> + A<sup>2</sup>/2 = A<sup>2</sup>
...
h=A/(2)
Volume P = (A<sup>2</sup> * A/(2))/3
=A<sup>3</sup>/(3*A/(2))
=72*r<sup>3</sup>/(2)
Volume O = 14*4/3*pi*r<sup>3</sup>
Volume O = 56*pi*r<sup>3</sup>/3
VO/VP =~ 87% (si je ne me suis pas trompé)
Pour le troisieme, c'est un peu dans la meme logique, tu veux essayer de le faire ?
Ghostux
Posté par Ghostux (invité)re : Empilement de sphere
Bon en fait je me suis rendu comte que ta question était un peu plus subtile , lol, je ne l'ai pas bien saisi, et je vais esquisser une reponse sujette.
Les mailles carrées veulent, à mon sens, simplement dire que les oranges sont posee comme ca :
OO
OO
Si tu regardes d'au dessus. Apres tu peux , soit les déposer les unes SUR les autres (question 1) , soit les unes entre les quatre autres.
? :s
Gho'
Posté par DraZ (invité)re : Empilement de sphere
Alors pour en revenir a l'énoncé il est bien spécifié que les mailles sont cubiques dans les 3 cas dc l'idée de la pyramide est deja a abandonné ^^
J'ai fouillé un moment avant de trouver ce site magnifique qui explique toute les methodes d'empilement de sphere , ( la meilleur densité obtenu etant alors 74% )
pour le site c par la -->
http://uqac.ca/chimie/Chimie_physique/Chapitres/chap_6.htm
Posté par Ghostux (invité)re : Empilement de sphere
"il est bien spécifié que les mailles sont cubiques dans les 3 cas" Or ->
"rayon r.dans chaque niveau les oranges sont disposé en réseau a maille carrées"
Un cube c'est pas un carré :-/
Sur le site, si tu regardes la structure b, c'est bien une pyramide à base carré ?!
Pour la valeur numerique, il se peut que je me 'sois' trompé dans mes calculs, je vérifie.
Ghostux
Posté par Ghostux (invité)re : Empilement de sphere
Ok, alors oui, j'ai compris d'où vient ma faute, il fallait prendre le centre des oranges (ainsi mon A = 4r, et non 6r), alors que j'avais pris les extremités,ce qui implique 8 parties obliques de trop, de volumes egaux, au fond de chaque orange. Mais on retombe sur leur resultats oui. La norme est un cube, c'est plus facile de raisonner en cube, et de detacher les parties, la pyramide était plutot la forme globale d'une pile d'oranges.
Sinon tu as compris ce qu'ils ont fait sur le site ?
Ghostux
Posté par DraZ (invité)re : Empilement de sphere
Désolé pour le retard de ma reponse :-S
oui j'ai bien compris ce qu'ils ont fait, en fait j'avais trouvé le meme resultat qu'eux pour le premier type d'empilement mais j'arrivait pas a imaginer les 2 autres type et c'est vrai qu'avec un schema ca passe bcps mieux 
merci pour le coup de main
@pluche