Niveau terminale

Encadrement

Posté par Abigail (invité) 24-02-05 à 19:58

Bonsoir,

J'ai un petit problème avec un exercice de maths.
j'ai trouvé que pour tout u>0, 0< u exp(-u)< u.

Mais il faut démontrer maintenant que :
0< 1- (1+u)exp(-u)< u²/2 pr tout u>0

Je bloque vraiment, j'ai essayé plusieurs combinaisons ms en vain

Si vous avez une idée

merci d'avance

Posté par re : Encadrement 24-02-05 à 20:10

Bonsoir

$u\to u.exp(-u)$ et $u\to u$ sont dérivable sur $\mathbb{R}$ .
On peut donc écrire d'aprés le théoréme de l'inégalité des accroissements finis que :
$3$\rm0<u.e^{-u}<u\Longrightarrow \Bigint_{0}^{u} 0du<\Bigint_{0}^{u} ue^{-u}du<\Bigint_{0}^{u} udu$

Par une intégration par partie , tu trouveras que :
$3$\rm\Bigint_{0}^{u} ue^{-u}=\[-(u+1)e^{-u}\]_{0}^{u}=1-(1+u)e^{-u}$

Je te laisse conclure

Jord

Posté par Abigail (invité)re : Encadrement 24-02-05 à 20:13

Merci beaucoup mais le problème est que je n'ai pas encore étudié les intégrations en classe entière, donc, je ne vois pas trop.

Y'a t'il une autre méthode ?

merci quand meme !

Posté par re : Encadrement 24-02-05 à 20:22

Bonjour

Cela marche aussi du côté dérivé

A savoir :

Soit f , g et h 3 fonctions dérivable sur ]a;b[ tels que
$f'(x)<g'(x)<h'(x)$

Alors :
$f(b)-f(a)<g(b)-g(a)<h(b)-h(a)$

Ici , tu poses $f(x)=0$ , $g(x)=-(x+1)e^{-x}$ et $h(x)=\frac{1}{2}x^{2}$

Jord

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