Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale IntégrationTopics traitant de Intégration [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Encadrement d'une intégrale

Posté par
Dodominos 31-03-20 à 12:40

Bonjour ! Premièrement, excusez moi si le titre n'est pas assez explicite, je n'ai pas trouvé mieux.
Je galère un peu sur ce point, voici la partie de l'énoncé de mon DM :

Soit 𝑓 la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 1/x + ln(x/x+1)

1) a) En commençant par encadrer 1/x sur [𝑛; 𝑛 + 1],  justifier pour tout entier naturel 𝑛 non nul l'encadrement : 1/n+1 <=  (l'intégrale de n à n+1) de 1/x dx <= 1/n

Ce n'est évidemment qu'une partie de l'énoncé, mais je pense n'avoir besoin d'aide que pour celle-ci, sur laquelle je bute depuis plus de 30min.

Voici ce que j'ai fait :

J'ai donc encadré :  1/n+1 <= 1/x <= 1/n
je ne sais pas si c'est ce qui est voulu, s'il manque quelque chose ou non ^^'

Ensuite : J'ai transformé l'intégrale ci-dessus (soulignée) en : ln(n+1) - ln(n) = ln((n+1)/n) = ln(1 + 1/n)

On a donc pour le moment 1/n+1 <= ln(1+1/n) <= 1/n     qui est encore à justifier

C'est ici que je bloque, des petits tips s'il vous plaît  ? ^^'
Merci d'avance

Posté par
Dodominosre : Encadrement d'une intégrale 31-03-20 à 12:41

Update : Je ne sais pas s'il fallait placer ce topic dans le chapitre d'intégration, sorry d'avance ^^' !

Posté par
lakere : Encadrement d'une intégrale 31-03-20 à 12:53

Bonjour,

  

Citation :
J'ai donc encadré :  1/n+1 <= 1/x <= 1/n


Oui sur l'intervalle [n,n+1]

Mais ensuite ça ne va pas: tu intègres sur cet intervalle par rapport à la variable x et \dfrac{1}{n+1} et \dfrac{1}{n} sont des constantes.

Posté par
Dodominosre : Encadrement d'une intégrale 31-03-20 à 12:58

Merci d'être réactif,

Je ne suis pas sûr de bien comprendre...
Ce que tu as cité ne répond pas à la question, c'est ça ?
Qu'est-ce qui cloche s'il est possible pour toi (je me permets) de reformuler ton message ? >.<

Posté par
lakere : Encadrement d'une intégrale 31-03-20 à 13:03

Sur l'intervalle [n,n+1]:

  \dfrac{1}{n+1}\leq \dfrac{1}{x}\leq \dfrac{1}{n}

Un théorème du cours nous permet de passer aux intégrales sur [n,n+1]:

\begin{aligned}\int_n^{n+1}\dfrac{1}{n+1}\,\text{d}x\leq \int_n^{n+1}\dfrac{1}{x}\,\text{d}x\leq \int_n^{n+1}\dfrac{1}{n}\,\text{d}x\end{aligned}

Posté par
Dodominosre : Encadrement d'une intégrale 31-03-20 à 13:05

Oh bien sûr !

J'essaie d'avancer avec ça, merci beaucoup pour cette réactivité !

Posté par
lakere : Encadrement d'une intégrale 31-03-20 à 13:07

Et n'oublie pas que \dfrac{1}{n+1} et \dfrac{1}{n} sont des constantes par rapport à la variable d'intégration x.

Posté par
Dodominosre : Encadrement d'une intégrale 31-03-20 à 13:08

Je l'ai en tête, merci !

Posté par
Dodominosre : Encadrement d'une intégrale 31-03-20 à 13:13

Donc en fait, à partir de ce que tu as écrit, il suffit de dire que l'intégrale de n à n+1 de 1/n+1 ET celle de 1/n sont respectivement égales à 1/n+1 et 1/n car ce sont des constantes, et l'encadrement est justifié, c'est bien celà ?

Merci encore !

Posté par
lakere : Encadrement d'une intégrale 31-03-20 à 13:15

Mais oui!

A l'avenir, fait attention aux parenthèses:

1/n+1 est lu comme \dfrac{1}{n}+1

1/(n+1) est lu comme \dfrac{1}{n+1}

Posté par
Dodominosre : Encadrement d'une intégrale 31-03-20 à 13:19

Oui, j'étais au courant sur ce point, je pensais les avoir mises, faute d'inatention de ma part

Encore merci et bonne journée !

Posté par
lakere : Encadrement d'une intégrale 31-03-20 à 13:20

Bonne journée à toi et de rien Dodominos

Posté par
lakere : Encadrement d'une intégrale 31-03-20 à 13:31

Juste une remarque: un théorème que tu ne connais peut-être pas:

  

Citation :
f est une fonction continue sur [a,b] avec a\leq b.

Si pour tout x de [a,b],     m\leq f(x)\leq M alors:

  \begin{aligned}m(b-a)\leq \int_a^bf(x)\,\text{d}x\leq M(b-a)\end{aligned}


Il permet d'arriver directement à ton résultat.

Posté par
Dodominosre : Encadrement d'une intégrale 31-03-20 à 13:45

C'est bien plus rapide effectivement, mais je vais éviter de l'utiliser étant donné qu'en effet, je n'ai pas encore vu ce théorème >.<


Rechercher
Menu
Espace membre
10 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !