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Encadrement d une somme

Posté par darkshine (invité) 01-11-05 à 15:04

Alors voilà je pose le sujet :

on a lencadrement suivant : -1< 1/2n+p < 1
et on a Rn= 1/2n+p (je ne sais pas comment l'ecrire mais pour p=1 jusqu'à n)

et on demande de montrer que ln(3n+1/2n+1)Rnln(3/2)

ensuite de conclure la convergence de (Rn)

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Encadrement d une somme 02-11-05 à 16:32

Bonjour darkshine;
(*)On a en utilisant la décroissance de la fonction 3$\fbox{x\to\frac{1}{x}} sur ]0,+\infty[ que 3$\fbox{(\forall n\ge1)(\forall p\in\{1,..,n\})\\\int_{2n+p}^{2n+p+1}\frac{dt}{t}\le\frac{1}{2n+p}\le\int_{2n+p-1}^{2n+p}\frac{dt}{t}} et donc en sommant ces n doubles inégalités que 4$\fbox{(\forall n\ge1)\\\int_{2n+1}^{3n+1}\frac{dt}{t}\le R_n\le\int_{2n}^{3n}\frac{dt}{t}} c'est à dire que 4$\blue\fbox{(\forall n\ge1)\\ln(\frac{3n+1}{2n+1})\le R_n\le ln(\frac{3}{2})}
(*)Par passage à la limite dans l'encadrement ci dessus on voit que 4$\blue\fbox{\lim_{n\to+\infty}R_n=ln(\frac{3}{2})}

Remarque:

(*)On peut aussi remarqer que 3$\fbox{(\forall n\ge1)\\R_n=\frac{1}{n}\Bigsum_{p=1}^{n}\frac{1}{2+\frac{p}{n}}} et on reconnait les sommes de Riemann de la fonction 3$\fbox{x\to\frac{1}{2+x}} qui est continue sur [0,1] on a donc que 4$\blue\fbox{\lim_{n\to+\infty}R_n=\int_{0}^{1}\frac{dx}{2+x}=ln(\frac{3}{2})}

Sauf erreurs bien entendu


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