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Encadrement d’une suite
Bonjour,
J'ai actuellement un devoir maison de mathématiques dans lequel je bloque sur une question.
Ainsi, je vous partage mon problème pour espérer trouver une solution à celui-ci.
Soit f la fonction définie par
f(x)=(e^x-1)/e^x-x
Soit la suite (Un) définie par
U0=1/2
Et pour tout n de N, Un+1=f(Un)
La question 3)b) qui me pose problème consiste a : montrer que, pour tout entier naturel n,
0<=Un<=1 puis que Un<=Un+1
J'ai essayé de faire une démonstration par récurrence mais, lors de l'hérédité, je trouve -1/e^Un>=Un+1>=0
Ainsi, je trouve bien que la suite est supérieure ou égale a 0 mais je ne sais pas comment démontrer qu'elle est inférieure ou égale a 1.
Merci d'avance.
Aïe.
Scan ou photo de l'énoncé interdits sur ce site : tu dois taper l'énoncé.
Fais-le en réponse à ce message.
Voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie par f(x)=((e^x)-1)/((e^x)-x)
f est strictement croissante sur [0;1]
1) Montrer que pour tout x de [0;1],f(x) appartient a [0;1]
2)Soit D la droite d'équation y=x.
a) Montrer que f(x)-x=((1-x)*g(x))/((e^x)-x) où g(x) est à déterminer.
b)Du sens de variation de g déduire le signe de g(x) sur l'intervalle [0;1].
c)En deduire la position relative de D et de la courbe C représentant la fonction f sur [0;1].
3) Soit la suite (Un) définie par U0=1/2 et pour tout n de N, Un+1=f(Un).
a) Sur le graphique ci-contre, construire sur l'axe des abscisses les six premiers termes de la suite en laissant les traits de construction.
b) Montrer que, pour tout entier naturel n,
0<=Un<=1 puis que Un<=Un+1
c) En déduire que la suite converge(et préciser sa limite).
OK.
Donc, tu as prouvé que pour tout x de [0;1], f(x) appartient a [0;1] .
Et Un+1=f(Un) : utilise le résultat précédent pour ta récurrence.
Il suffit de procéder par récurrence.
L'initialisation est évidente, je te laisse la faire.
pour l'hérédité, on suppose qu'il existe un entier n pour lequel un appartient à [0;1] ; on veut prouver qu'alors un+1 appartient aussi à [0;1] :
Or un+1 = f(un) ...
J'ai fais une hérédité de mon côté, celle ci me donne seulement :
-1/(e^(Un))>=Un+1>=0
Ainsi, je vérifie bien que Un est supérieur ou égal a 0 mais de l'autre côté de l'encadrement, je ne vérifie pas que Un est inférieur ou égal a 1.
Ai-je mal raisonné, fais une erreur de calcul ou -1/(e^(Un)) vaut 1 ce dont je doute fort.
Merci du temps consacré a m'aider.
Tu t'y prends mal : tu n'utilises pas le fait que pour tout x de [0;1], f(x) appartient a [0;1], et que Un+1=f(Un) :
Hérédité :
On suppose qu'il existe un entier n pour lequel un appartient à [0;1].
Or pour tout x de [0;1], f(x) appartient a [0;1], donc f(un) appartient à [0;1].
Donc un+1 appartient à [0;1], soit : 0 
un+1 1.
Bonjour,
Merci beaucoup pour votre éclaircissement, j'ai compris le raisonnement à suivre.
Quand a la deuxième partie de cette question qui consiste a prouver que cette suite est croissante : Un<=Un+1, faut-il bien utiliser Un+1 - Un ?
J'ai développer ce calcul qui me donne :
(e^(Un)-1-(Un*e^(Un))+Un)/(e^(Un)-1)
J'ai ensuite fait un tableau de signe qui me donne une valeur interdite en Un=0 qui n'existe pas, puis positive sur ]0;1] et valeur nulle a Un=1.
Je peux ainsi dire que que Un+1 - Un>=0
et ainsi conclure sur le fait qu'elle soit positive.
Je ne sais pas si mon raisonnement est bon...
Merci d'avance
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