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Encadrement de fonction

Posté par
Flora2606
28-09-24 à 18:01

Bonjour,

J'ai f(x/2 + x/2)= (2f(x/2))/(1+(f(x/2))2)
et je dois montrer que pour tout x réel f(x) appartient à ]-1;1[

Je crois qu'il faut utiliser une identité remarquable mais je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance.

Posté par
carpediem
re : Encadrement de fonction 28-09-24 à 18:16

salut

très probablement un énoncé bien incomplet ... qui ne commence certainement pas par "j'ai ..."

Posté par
thetapinch27
re : Encadrement de fonction 28-09-24 à 18:35

Bonsoir,

L'énoncé est faux car f(x) = 1 vérifie l'identité (1=2*1/(1+1²)) et pourtant f(x) n'est pas dans ]-1;1[

Posté par
Flora2606
re : Encadrement de fonction 28-09-24 à 18:39

Le sujet complet est très long et complexe à recopier mais la question est :
Soit f(x/2 + x/2)= (2f(x/2))/(1+(f(x/2))2)
Montrez que pour tout x réel f(x) appartient à ]-1;1[

Posté par
thetapinch27
re : Encadrement de fonction 28-09-24 à 18:43

Il n'est pas nécessaire de tout recopier, l'essentiel suffit.
Mais le problème c'est que comme l'écrit carpediem, il manque des informations sur f : voir aussi mon message précédent où je donne un contre-exemple.

Posté par
Flora2606
re : Encadrement de fonction 28-09-24 à 18:43

Je n'arrive pas à poster une photo du sujet complet, rien ne marche, ni pdf ni image.

Posté par
Flora2606
re : Encadrement de fonction 28-09-24 à 18:48

Enoncé :
Le but du problème est de déteminer les fonctions f de R dans R dérivables en 0 satisfaisant à l'équation fonctionnelle :
pout tout (x,y) appartient aux réels f(x+y)=(f(x)+f(y))/(1+f(x)f(y))

On suppose que f est une fonction non constante solution du problème.
1) En écrivant x=x/2 + x/2 montrez que :
pour tout x appartenant à R f(x) appartient à ]-1;1[

Posté par
thetapinch27
re : Encadrement de fonction 28-09-24 à 19:03

Flora2606 @ 28-09-2024 à 18:48

Enoncé :
Le but du problème est de déteminer les fonctions f de R dans R dérivables en 0 satisfaisant à l'équation fonctionnelle :
pout tout (x,y) appartient aux réels f(x+y)=(f(x)+f(y))/(1+f(x)f(y))

On suppose que f est une fonction non constante solution du problème.
1) En écrivant x=x/2 + x/2 montrez que :
pour tout x appartenant à R f(x) appartient à ]-1;1[

Cela change beaucoup de choses !

Donc il te faut montrer deux choses (je note u=f(x/2)) :
1- 2u1+u²
2- 2u=1+u² seulement dans des cas incompatibles avec l'énoncé (fonction non constante, fonction dérivable en 0)

Pour le 1, essaie de tout passer du même côté de l'inégalité.

Posté par
thetapinch27
re : Encadrement de fonction 28-09-24 à 19:08

PS : je suppose que ce n'est pas le but de l'énoncé, mais un changement de fonction f(x) = tan(g(x)) + formules trigo simplifie énormément le problème.

Posté par
Flora2606
re : Encadrement de fonction 28-09-24 à 19:11

Je ne comprend pas d'où sont issues les deux choses qu'il faut montrer

Posté par
thetapinch27
re : Encadrement de fonction 28-09-24 à 19:17

Ma notation est malheureuse. Il faut comprendre :
1°) 2u1+u²
2°) 2u=1+u² seulement dans des cas incompatibles avec l'énoncé (fonction non constante, fonction dérivable en 0)

Pour montrer qu'une fraction est inférieure à 1 en valeur absolue, il faut montrer que |numérateur| |dénominateur|

Posté par
Flora2606
re : Encadrement de fonction 28-09-24 à 19:18

Je comprend mieux merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Encadrement de fonction 28-09-24 à 21:26

Bonsoir,
Je me permets d'intervenir pour indiquer une piste simple qui permet d'éliminer 1 et -1 comme images par f :
Si f(a) = 1 alors f((x-a) + a) = ?
Idem avec -1.

Posté par
Flora2606
re : Encadrement de fonction 29-09-24 à 10:09

Si f(a)=1 alors f((x-a)+a)= f(x) mais je ne comprend pas en quoi cela exclu 1 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Encadrement de fonction 29-09-24 à 10:23

La fonction f vérifie une certaine propriété...

Posté par
Flora2606
re : Encadrement de fonction 29-09-24 à 10:30

f est non constante

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Encadrement de fonction 29-09-24 à 12:16

Avec x et y.

Posté par
Flora2606
re : Encadrement de fonction 29-09-24 à 12:27

Je ne comprend pas du tout comment cela peut prouver que 1 est exclu.
On a donc f((x-a)+a)=f(x) et f(x) non constante
donc f((x-a)+a) n'est pas constante
Mais quel est le lien avec f(a)=1 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Encadrement de fonction 29-09-24 à 12:36

Utilse la propriété avec x et y.
Elle contient un quotient.
Ce quotient va se simplifier si f(a) = 1 ou -1.

Posté par
Flora2606
re : Encadrement de fonction 29-09-24 à 12:46

Je trouve f((x-a)+a)=f(x)=1
or f(x) ne peut pas être constant d'après l'énoncé donc f(x) ne peut pas appartenir à 1
C'est ça ?

Posté par
carpediem
re : Encadrement de fonction 29-09-24 à 13:14

il faudrait ne pas confondre f et f(x)

ce n'est pas que f ne peut pas être constante c'est que si f est constante f(x) = c pour tout x alors c vérifie

c = \dfrac {2c} {1 + c^2} \iff c(c - 1)(c + 1) = 0 \iff ...

ensuite on suppose que f n'est pas constante (bien que ce ne soit pas nécessaire))

alors en posant x = 2y = y + y on en déduit que f(x) = f(y + y) = \dfrac {2f(y)} {1 + [f(y)]^2}

il s'agit alors de montrer (comme le dit thetapinch27) que -1 \le \dfrac {2f(y)} {1 + [f(y)]^2} \le 1

or le membre du milieu est de la forme \dfrac {2u} {1 + u^2} (pour reprendre les notation de thetapinch27)

une révision des identités remarquables te permettra alors d'obtenir le résultat demandé ...

ou alors :    RAP : pour comparer deux quantités a et b on étudie le signe de leur différence a - b ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Encadrement de fonction 29-09-24 à 13:18

Essaye d'écrire cela plus clairement, sans mélanger x et a.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Encadrement de fonction 29-09-24 à 14:10

Messages croisés
Mon "cela" faisait référence au message de 12h46.
Je me contente pour le moment de tenter d'aider Flora2606 à démontrer que f(x) n(est égal ni à 1 ni à -1.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Encadrement de fonction 29-09-24 à 16:28

Et pour le démontrer, utiliser f non constante me semble utile.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Encadrement de fonction 29-09-24 à 21:08

@Flora2606
Je reprends ce que tu as écrit à 12h46 en le rectifiant et le remettant dans le contexte :
Si f(a) = 1 alors pour tout x réel

Citation :
f((x-a)+a)=f(x)=1
or f (et pas f(x)) ne peut pas être constant d'après l'énoncé donc f(a) ne peut pas être égal à 1

Peux-tu détailler comment tu trouves f(x) = 1 ?
Comprends-tu qu'on démontre ainsi que pour tout a réel on a f(a) 1 ?

Essaye de démontrer de la même manière que pour tout a réel on a f(a) -1.



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