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Encadrement du nombre e

Posté par
-Kiara-
03-12-16 à 17:10

Bonjour à tous ,

Je poste ce topic car j'ai un problème dans une question de mon DM.

En effet on me demande de démontrer à l'aide de l'égalité 1+x ex pour tout réel x et du changement de variable X=-x que pour tout réel x < 1, ex 1/(1-x).

Mais je ne vois pas à quel moment on doit faire le changement de variable ... Ainsi je suis bloquée et je me demandais si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider à faire cette question.

Dans l'attente d'une réponse,
Merci d'avance.  

Posté par
luzak
re : Encadrement du nombre e 03-12-16 à 17:48

Bonsoir !
On te demande de remplacer x par -y (je préfère changer de lettre à cause du risque de confusion entre x et X) dans 1+x\leqslant e^x

Posté par
-Kiara-
re : Encadrement du nombre e 03-12-16 à 19:50

D'accord du coup ça fait 1-y e-y
Je pense qu'après il faut faire 1/(1-y) 1/ e-y = ey
Mais après je suis bloquée ...

Posté par
luzak
re : Encadrement du nombre e 03-12-16 à 23:58

Non ! En prenant les inverses tu dois inverser les inégalités (et prouver que tu peux prendre les inverses : il y a un problème de signe).

Ensuite remettre x à la place de la lettre y soit : \dfrac1{1-x}\geqslant e^x

Avec l'inégalité de départ, tu auras ainsi un encadrement : 1+x\leqslant e^x\leqslant\dfrac1{1-x}

Posté par
-Kiara-
re : Encadrement du nombre e 04-12-16 à 10:53

Oui en fait on a 1/(1-y) ey pour y < 1
Mais après je ne comprends pas pourquoi on remplace y par x et pas par -x étant donné que le changement de variable était y=-x

Posté par
-Kiara-
re : Encadrement du nombre e 04-12-16 à 13:29

??

Posté par
luzak
re : Encadrement du nombre e 04-12-16 à 13:34

Désolant !
Tu te fais des histoires pour savoir si tu peux mettre une lettre à la place d'une autre (ne mets ni x ni y mais chien et chat si tu en as envie).

As-tu montré, oui ou non que y<1\implies\dfrac1{1-y}\geqslant e^y et que x\in\R\implies e^x\geqslant 1+x ?

Alors où est le problème pour écrire, lorsque x<1 que \dfrac1{1-x}\geqslant e^x ET, toujours pour x<1, que  e^x\geqslant 1+x ?

Posté par
-Kiara-
re : Encadrement du nombre e 04-12-16 à 14:33

Je disait juste ça car au début on pose la condition que X (que vous avez appelé y) = -x . Du coup je vois pas pourquoi à la fin comme par magie on transforme X=-x en X=x c'est comme si en prenant x =5 on disait que X=-5=5. Or -55. Donc ça ne va pas ...
Et en plus dans ce cas je ne vois pas à quoi ça servait de faire un changement de variable si c'est pour avoir X=x autant garder x dès le départ ...

Posté par
luzak
re : Encadrement du nombre e 04-12-16 à 22:39

Tes x,X sont des lettres, que tu peux remplacer à ta guise par d'autres lettres.

Encore une fois si de reprendre la lettre x du départ te gêne mets z,t et écris tes relations.

Si tu préfères : t<1\implies\dfrac{1}{1-t}\geqslant e^t et z<1\implies e^z\geqslant 1+z.

Donc, lorsque u<1 on a  : \dfrac{1}{1-u}\geqslant e^u\geqslant 1+u.

Mais il est vrai qu'il y a une centaine d'années la lettre u a été utilisée par un mathématicien que tu respectes : alors plus jamais de u dans tes raisonnements. Mais il te reste 25 lettres latines minuscules sans compter les alphabets étrangers qui, c'est probable, ont déjà été utilisées. Donc, adieu les mathématiques et tout ce qui s'écrit avec des lettres !



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