Bonjour,

Tu dois recopier l'énoncé. Seules les figures sont permises.

Bonjour,

pour ne pas perdre le sujet et intervenir quand on aura l'énoncé
(avec 99% de chance pour dire que le principe est absurde, mais bon, on verra bien...)

Salut,

Pour ne pas perdre le sujet non plus, car intéressé par la future argumentation de mathafou concernant l'absurdité de la méthode d'encadrement de par polygônes successifs  

pour anticiper sur ma réponse future : l'exo (deja paru ici même il y a très peu, et sur les 3/4 des références Internet) revient à calculer pi à partir d'une valeur déja connue à priori de pi !!
il reste les quelques références sérieuses qui suivent réellement la "vraie" méthode d'Archimède qui consiste à doubler le nombre de côtés

toute autre méthode avec des polygones inscrits/circonscrits de nombre de côtés variant autrement (de un en un par exemple) est de la poudre aux yeux
c'est pourtant la plus grande majorité des fausses présentations de cette méthode ! hélas.

"statistiquement" il y a donc de fortes chances que le présent exo soit dans le lot de ces erreurs logiques à la base ...

ce qui n'empêche absolument pas de répondre en faisant les calculs demandés, même s'ils sont absurdes !

Merci beaucoup pour vos avertissements bienveillants
L'énoncé :
Cas n= 4 ( n côté)

1 .quelle est la mesure de l'angle alpha en radian ? comment retrouve-t-on alpha à partir de 2pi ?
2 .exprimer beta en fonction de alpha ? quelle est la mesure de l'angle beta en radian ?3.exprimer la longueur AI en fonction de beta ( penser à utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle )
4.calculer la longueur AI puis en déduire la longueur du côté AB et le périmètre du carré ABCD inscrit dans le cercle .
5. exprimer la longueur A'J en fonction de beta ( penser à utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle mais attention ce n'est pas la même formule qu'à la question 3 ! )
6 . Calculer la longueur A'J puis en déduire la longueur du côté A'B' et le périmètre du carré A'B'C'D' exinscrit du cercle .
7. Déduire des questions 4 et 6 un encadrement de 2 π et puis de π . quelle est l'amplitude de cet encadrement ? cela vous paraît-il suffisamment précis ? ( on arrondira les résultats au centième )

Cas n=6
1.quelle est la mesure de l'angle alpha en radian ? comment retrouve-t-on alpha à partir de 2 pi?
2. exprimer beta en fonction de Alpha. quelle est la mesure de l'angle beta en radian ?
3 .exprimer la longueur AI en fonction de beta  (penser à utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle)
4.calculer la longueur AI puis en déduire la longueur du côté AB et le périmètre de l'Hexagone ABCDEF inscrit dans le cercle.
5.exprimer la longueur A'J en fonction de beta (penser à utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle mais attention ce n'est pas la même formule qu'à la question 3)
6. calculer la longueur A'J puis en déduire la longueur du côté A'B' et le périmètre de l'Hexagone A'B'C'D'E'F' exinscrit du cercle .
7. Déduire des questions 4 et 6 un encadrement de 2π puis de π . quelle est l'amplitude de cet encadrement  cela vous paraît-il suffisamment précis? (on arrondira les résultats au centième)

Je tenais à vous remercier d'avance pour votre aide sachant que j'ai une épreuve de maths le lundi et ce DM est censé être une préparation personnelle pour l'épreuve car nous n'avions fait qu'une activité donc vous me sauvez la vie .

Je tiens aussi à que vous sachiez que je n'ai pas eu de cours sur ce chapitre seulement une petite activité

bonn mais si on s'arrête à n = 4 et à n = 6, pas de problème

mais la figure Geogebra suggérait un n largement variable !!
(peut être les problèmes viendront das la suite de l'exo ...)


en tout cas si tu espères un cours spécifique sur les approximations de pi tu cherches vainement : ça ne sert absolument à rien ici.


il suffit de répondre une par une aux questions telles qu'elles sont posées et c'est tout

Cas n= 4 ( n côté)

1 .quelle est la mesure de l'angle alpha en radian ? comment retrouve-t-on alpha à partir de 2pi ?

c'est quoi alpha ?
il manque un bout fondamental de cet énoncé : les définitions qui sont avant les questions !!!

tu voulais réduire ??
c'est les questions sur n = 6 qu'il fallait supprimer et reporter à plus tard !
pas ce qui est écrit mot à mot depuis le tout premier mot de l'énoncé
énoncé ça ne veut pas dire questions !!

et si c'est uniquement sur la figure, elles sont illisibles !
(cadrer sur les seules figures en gros plan à la prise de vue)

Alpha pour l'angle qu'il faut trouver ,
Je tiens à préciser encore , que j'ai fais plusieurs recherches , regarder des manuels , beaucoup de réflexion . Je viens demander de l'aide ici comme dernière solution

il n'y a rigoureusement aucune définition dans l'énoncé ??
comment est construite la figure, de quelle sorte de polygone il s'agit, d'éventuelles perpendiculaires, médianes, milieux etc ???

je ne te crois pas !!!

en tout cas, après divination sur ce qui est visuellement évident sur la figure,

cours résumé sur les angles en radians :

un tour complet = 360° = 2pi radians
un angle plat = 180° = pi radians     (180° = 360°/2 = 2pi/2 radians)
un angle droit = 90° = pi/2 radians     (90° = 180°/2 !!)
180°/3 = 60° = pi/3 radians
etc etc

il n'y a rigoureusement rien de plus à savoir ici
à part le cours sur les les propriétés des figures de base en début de collège et les évidences totales du même niveau ...

Je connais mon cœur sur la trigonométrie et la mesure des angles mais je suis comme même perdue

L'énoncé :
Cas n= 4 ( n côté)

1 .quelle est la mesure de l'angle alpha en radian ? comment retrouve-t-on alpha à partir de 2pi ?
2 .exprimer beta en fonction de alpha ? quelle est la mesure de l'angle beta en radian ?3.exprimer la longueur AI en fonction de beta ( penser à utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle )
4.calculer la longueur AI puis en déduire la longueur du côté AB et le périmètre du carré ABCD inscrit dans le cercle .
5. exprimer la longueur A'J en fonction de beta ( penser à utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle mais attention ce n'est pas la même formule qu'à la question 3 ! )
6 . Calculer la longueur A'J puis en déduire la longueur du côté A'B' et le périmètre du carré A'B'C'D' exinscrit du cercle .
7. Déduire des questions 4 et 6 un encadrement de 2 π et puis de π . quelle est l'amplitude de cet encadrement ? cela vous paraît-il suffisamment précis ? ( on arrondira les résultats au centième )

Cas n=6
1.quelle est la mesure de l'angle alpha en radian ? comment retrouve-t-on alpha à partir de 2 pi?
2. exprimer beta en fonction de Alpha. quelle est la mesure de l'angle beta en radian ?
3 .exprimer la longueur AI en fonction de beta  (penser à utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle)
4.calculer la longueur AI puis en déduire la longueur du côté AB et le périmètre de l'Hexagone ABCDEF inscrit dans le cercle.
5.exprimer la longueur A'J en fonction de beta (penser à utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle mais attention ce n'est pas la même formule qu'à la question 3)
6. calculer la longueur A'J puis en déduire la longueur du côté A'B' et le périmètre de l'Hexagone A'B'C'D'E'F' exinscrit du cercle .
7. Déduire des questions 4 et 6 un encadrement de 2π puis de π . quelle est l'amplitude de cet encadrement  cela vous paraît-il suffisamment précis? (on arrondira les résultats au centième)

Je tenais à vous remercier d'avance pour votre aide sachant que j'ai une épreuve de maths le lundi et ce DM est censé être une préparation personnelle pour l'épreuve car nous n'avions fait qu'une activité donc vous me sauvez la vie .

*** message déplacé ***

Et voici les deux figures qui accompagnent le sujet





*** message déplacé ***

La loi des sinus , le théorème de Thalès et la triangulation et aussi un sorte de mélange de trigonométrie avec les fonctions

et ceci, tu l'as coché pourtant bon pour une fois....la prochaine fois tu reçois un avertissement....

Bigre.

Et donc, tu en es où ?

Je m'excuse , je suis vraiment en besoin d'aide et j'ai supposée en trouver autre part.
Oui je l'ai fait :
Je sais que l'angle alpha correspond à l'angle du sommet de chaque triangle ayant pour sommet le centre du cercle . On peut le calculer car dans un cercle dont l'angle correspondant à 360° , on a  n triangles pour n carrés , ces triangles sont divisés en 2 , on a donc 2 fois plus de sommets , pour avoir la valeur de cet angle il suffit de diviser 360° par 2n et dans le cas où n= 4 , l'angle alpha est de 45° = π/4

On sait que le périmètre d'un cercle vaut 2π soit 360° , il suffit de diviser par deux à chaque fois :
2π = 360°
π = 180°
π/2 = 90°
π/4 = 45°

Bonjour,
Il n'y a vraiment rien dans l'énoncé avant " Cas n= 4 ( n côté) " ?

N triangles pour n carrés c'est pas nécessaire à ajouter , c'est simplement pour dire que il y a un certain nombre de triangles pour un certain nombre de carrés

Oui je suis désolée je viens de retrouver la partie manquante :

L'idee d'Archimède fût d'encadrer ce nombre π par les périmètres des polygones réguliers inscrits et exinscrit à ce cercle .
La multiplication des côtés de ces polygones permet d'encadrer d'aussi près que l'on veut le nombre π par défaut et par excès .

Je suis désespérément en besoin d'aide svp

Svp je suis vraiment pressée , j'ai une épreuve dessus ce lundi

Je sais que je l'ai déjà posté mais personne ne m'aide ,  j'ai une épreuve de bac dessus . Je suis vraiment désespérément en besoin d'aide svp je travaille très dur

'énoncé :
Cas n= 4 ( n côté)

1 .quelle est la mesure de l'angle alpha en radian ? comment retrouve-t-on alpha à partir de 2pi ?
2 .exprimer beta en fonction de alpha ? quelle est la mesure de l'angle beta en radian ?3.exprimer la longueur AI en fonction de beta ( penser à utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle )
4.calculer la longueur AI puis en déduire la longueur du côté AB et le périmètre du carré ABCD inscrit dans le cercle .
5. exprimer la longueur A'J en fonction de beta ( penser à utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle mais attention ce n'est pas la même formule qu'à la question 3 ! )
6 . Calculer la longueur A'J puis en déduire la longueur du côté A'B' et le périmètre du carré A'B'C'D' exinscrit du cercle .
7. Déduire des questions 4 et 6 un encadrement de 2 π et puis de π . quelle est l'amplitude de cet encadrement ? cela vous paraît-il suffisamment précis ? ( on arrondira les résultats au centième )

Cas n=6
1.quelle est la mesure de l'angle alpha en radian ? comment retrouve-t-on alpha à partir de 2 pi?
2. exprimer beta en fonction de Alpha. quelle est la mesure de l'angle beta en radian ?
3 .exprimer la longueur AI en fonction de beta  (penser à utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle)
4.calculer la longueur AI puis en déduire la longueur du côté AB et le périmètre de l'Hexagone ABCDEF inscrit dans le cercle.
5.exprimer la longueur A'J en fonction de beta (penser à utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle mais attention ce n'est pas la même formule qu'à la question 3)
6. calculer la longueur A'J puis en déduire la longueur du côté A'B' et le périmètre de l'Hexagone A'B'C'D'E'F' exinscrit du cercle .
7. Déduire des questions 4 et 6 un encadrement de 2π puis de π . quelle est l'amplitude de cet encadrement  cela vous paraît-il suffisamment précis? (on arrondira les résultats au centième)

Je tenais à vous remercier d'avance pour votre aide sachant que j'ai une épreuve de maths le lundi et ce DM est censé être une préparation personnelle pour l'épreuve car nous n'avions fait qu'une activité donc vous me sauvez la vie .





*** message déplacé ***

refaire un 2e multipost volontairement, faut pas abuser...lis le règlement, tu as 1/2 journée pour le faire !

extrait de la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?

J'ai été averti ou banni parce que je n'ai pas respecté les règles du forum, qui étaient à lire avant de poster. et donc acceptées tacitement lors de l'inscription.

Ou bien j'ai un triangle rouge devant mon pseudo et je suis averti. Je peux réagir dès que je le désire, en m'engageant à respecter le règlement (une phrase à recopier), et je peux lever mon avertissement moi-même. Pour cela, je tente de répondre à mon message, et la procédure apparaît.
Un conseil cependant : vraiment lire le message "A lire avant de poster" et ne pas récidiver...Vous seriez alors banni.

Si je suis averti pour ne pas avoir respecté la manière de poster expliquée en Q05 , je relis Q05 , puis je lève mon avertissement et je reposte mon énoncé correctement cette fois, dans le même sujet, et ainsi j'obtiendrai de l'aide rapidement très certainement.

Ou bien ma figurine est masquée, j'ai été banni pour un certain temps, et je dois en attendre la fin.

et en plus on n'est pas à ta botte et ce n'est pas une messagerie instantanée mais un forum
les réponses dans les 5minutes tu oublies.

Je m'excuse vraiment pour tout ce que j'ai fais , je suis en stress à cause de mon épreuve qui approche et ça m'a poussé à faire des choses très inappropriées

bon, c'est "pardonné", et revenons à l'exo (avancer dessus)
je ne serai pas trop dispo ce WE mais d'autres interviendront certainement

Je vous en suis très reconnaissante , merci pour votre réponse , maintenant je sais qu'il faut utiliser le théorème de Pythagore puis je fais le sinus de beta soit :
AI = OA . Sin( beta )
C'est bien ça ?

tout à fait
et beta c'est pi/4 et sin(pi/4) c'est .. etc

et OA est certainement imposé par la partie d'énoncé que tu n'as pas jugé bon de citer il me semble ..
sinon tu l'appelles R et au final on simplifiera par R entre le périmètre du cercle 2 pi R et les périmètres des polygones dans lesquels il y aura ce même R

D'accord j'ai compris pour le sinus de beta mais je suis confuse par rapport au théorème de Pythagore j'arrive pas à le trouver

le théorème de Pythagore sert à démontrer la valeur exacte de sin(pi/4) sans utiliser nulle part la valeur de pi planquée dans la calculette quand on lui dit de calculer sin(45°)...

D'accord , j'ai trouvé √2/2 , c'est bien ça ?

J'ai fais le théorème de Pythagore du triangle rectangle AOB :
Le triangle rectangle étant isocèle , BO=AO = 0,5 cm
BA² = BO²+AO²
BA² = 0,5²+0,5²
BA² = 0,25+0,25
BA² = 0,5
BA =√0,5 = √2/2
l'hypoténuse vaut donc √2/2 je divise par 2 pour avoir AI qui vaut √2/4 c'est bien ça ?

Ahh désolée c'est 0,5 c'est 1 cm
Ça fera alors √2/2 et non √2/4
Je crois que j'ai faux mais je suis pas sûre , c'est bien ça ?

ah bon OA = 1 ? c'est écrit où ça ?? pas ici en tout cas (énoncé complet de chez complet disait -on ...) ou c'est le diamètre qui vaut 1 ?? faudrait savoir !!

admettons donc rayon = 1 ...

pour calculer le sinus 45° c'est dans OAI rectangle en I (le seul qui exhibe l'angle beta = pi/4 demandé de l'énoncé)
il est rectangle isocèle (car 45°) et donc OI = AI
Pythagore :
OA² = OI² + AI² = 2AI²
donc (AI/AO)² = sin² beta = 1/2 et donc sin beta = √2/2 parfaitement

utiliser le triangle OAB (ça donne bien sur le même résultat !) n'est valable que dans le cas de n = 4
le triangle OAI sera valable quel que soit n !

et sin 45° cela fait partie des "angles remarquables" dont on est sensé savoir les valeurs trigo exactes parce que la démonstration avec Pythagore qu'on vient de faire a été faite une fois pour toutes "en cours" (en collège) ou en applications de ce cours

bon, soit on la récite (on a démontré jadis, avec l'aide de Pythagore que sin (pi/4) = √2/2)
soit on refait ici la démo comme on vient de le faire
comme on veut ou selon ce qu'on sait ...
bref l'important est d'aboutir à AB = 2sin(pi/4) = √2 si le rayon vaut 1

Oui pendant votre absence j'ai réussi à le faire mais j'ai pas exécuter le théorème de Pythagore de la même façon ,  je l'ai fais pour le triangle rectangle AOB pour pouvoir ensuite diviser par 2 pour obtenir AI :

BA²=BO²+AO²
BA²=1+1=2
BA =√2
AI vaut donc √2/2
C'est juste ?

Et je ne comprends pas cette partie :
OA² = OI² + AI² = 2AI²
donc (AI/AO)² = sin²

oui, j'ai bien vu, relire ce que j'ai dit :
"... utiliser le triangle OAB (ça donne bien sur le même résultat !) ..."

Oui! Je suis soulagée
Pour la question 4 j'ai fais :
AI = OA . sin beta
AI = 1 .√2/2 et donc √2/2
La longueur de AB serait donc de √2 car AI est la moitié de AB
Et le périmètre du carré ABCD est de :
8.AI =8.√2/2 = 4√2
C'est bien ça ?

sin beta = AI/OI non ?
et OA² = 2AI² ça fait bien (AI/OI)² = 2 non ?

ce qui est à déterminer dans ces histoires de polygones à n côtés (n en général) c'est le coté AB = 2AI = 2 R sin beta
"en général"
d'où ce que je dis d'utiliser plutôt OAI que OAB qui n'est rectangle que dans le cas n = 4

l'exo (encore heureux sinon ce que je disais en prologue est hélas vrai) traite les cas n = 4 et 6
mais autant faire des calculs "réutilisables" dans le cas de n quelconque
(réutilisables dans le cas n=6 ici)

Je suis un peu perdue dans ce que vous me dites dans la partie calcul car j'ai utilisé π/4 pour avoir sin beta

Je sais que sin beta = AI/OA parce que c'est le côté opposé / l'hypoténuse
Mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi OA² = 2AI ²= (AI/OA)²

l'énoncé piétine un peu au compte goutte dans ses questions

1 .quelle est la mesure de l'angle alpha en radian ?
90° =pi/2 radians
comment retrouve-t-on alpha à partir de 2pi ?
en divisant par n = 4

2 .exprimer beta en fonction de alpha ?
beta = alpha/2 (bissectrice)
quelle est la mesure de l'angle beta en radian ?
la moitié de pi/2 = pi/4

3.exprimer la longueur AI en fonction de beta ( penser à utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle )
AI = OA sin beta (un point c'est tout)

4.calculer la longueur AI puis en déduire la longueur du côté AB et le périmètre du carré ABCD inscrit dans le cercle .
c'est là Pythagore AI = R√2/2 (dans OAI car sinon on ne suit pas la question en calculant d'abord AB pour en déduire AI !!)
ou "réciter" que sin pi/4 = √2/2 et donc AI = R sin pi/4 = R√2/2

donc (en déduire !) AB = 2AI = R√2
et le périmètre = 4AB = 4R√2

c'est tout et rien d'autre dans ces questions là !!
et tout est comme ça des trucs très faciles si on comprend ce qui est demandé et pas autre chose

piétinons donc ...

OA² = 2AI²
donc en divisant par OA² les deux membres
1 = 2AI²/OA²
en divisant par 2
1/2 = AI²/OA²
regle sur les calculs d'exposants et fractions
AI²/OA² = (AI/OA)²
donc
(AI/OA)² = 1/2
mais AI/OA = sin beta par définition
donc
(sin beta)² = 1/2
(sin beta)² s'écrit traditionnellement sin² beta
donc sin beta = √(1/2 )n= 1/√2 = (√2)/(√2 × √2) = √2/2

donc sinus beta = sin pi/4 = √2/2     Ce Q'il Fallait Démontrer ...

et ne pas confondre "donc", "implique"
avec "égale", =
!!!

Wow c'est vraiment impressionnant !
D'accord j'ai très bien compris merci , mais juste pour confirmation ce que j'ai fais est juste ?

ai-je dit que c'était faux ?
j'ai juste suggéré que ça ne répondait pas vraiment aux questions posées telles qu'elles sont posées et dans l'ordre où elles sont posées.

mais tout y est et juste.

Oui vous avez raison , c'est pas très clair , je vais les reprendre avec votre explication merci beaucoup

OAI et OA'J semblables :
OA, OJ sont connus
Et dans le triangle rectangle OAI,  
OI = OA.cos beta
et puisque beta  =π/4 , cos beta = sin beta = √2/2
Mais je ne sais pas comment trouver OA