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Encadrement du reste de Taylor
Bonjour,
l'exercice sur lequel j'ai besoin d'aide est le suivant :
Demontrer que, pour tout entier naturel non nul n,
ln(1+x)=x-x²/2+x3/3-...+(-1)^(n-1)*xn/n+rn(x)
où rn(x) est un nombre réel tel que 0<=(1+x)-1*xn+1/(n+1)<=(-1)nrn(x)<=xn+1/(n+1).
J'ai réussis à démontrer la formule de ln(1+x) et également la majoration de l'encadrement mais j'ai un problème au niveau du terme inférieur, j'obtiens (1+x)-(n+1) et non le (1+x)-1 souhaité. Le reste est de la forme : intégrale de 0 à x de (-1)n*(x-t)n/(1+t)n+1 dt. Merci d'avance pour l'aide !
Bonsoir,
on peut obtenir ce développement en écrivant
1/(1+x)=1-x+x2 . . . +(-1)n-1xn-1+reste
et en intégrant de 0 à x.
En calculant le reste du développement précédant on voit qu'il est assez facile de la minoré et de le majorer.
Sauf erreur de ma part tu devrais obtenir le résultat voulu.
PS : pas de LaTeX, il est en panne.
Merci pour cette réponse mais je vois mal comment il est possible de calculer le reste intégrale sachant que
(x-t)t/(1+t)n+1 s'intègre difficilement (voire pas du tout). Pour majorer, je suis juste parti de 1<=1+t puis en appliquant des opérations à la suite, j'obtiens la borne supérieure voulue mais pour la borne inférieure cette méthode ne fonctionne pas correctement, j'obtiens (1+x)n+1 et non (1+x) au dénominateur (j'ai d'ailleurs oublié de préciser que le x est compris entre 0 et 1). Je suis donc bloqué juste pour cette minoration.
J'avais considéré comme évident que |x|<1, il n'y a guère de changements à faire si 0<x<1.
Le reste est ren-1(x)=(-1)nxn/(1+x).
On a donc (-1)nrn(x)=
t
[0;x]tndt/(1+t)>(1+x)-1t[0;x]tndt
J'ai peur de ne pas comprendre comment vous obtenez cette valeur du reste, avez-vous utilisé la formule donnant un reste sous forme d'intégrale ? Car c'est ce que j'ai fais et l'intégrale que j'obtiens est :
t[0;x] tn/(1+t)n+1dt, il est possible que je me sois trompé quelque part mais je ne vois pas où. Car votre forme pour le reste est en effet parfaite pour le minorer aisément. Je vous remercie grandement pour le temps que vous prenez à m'expliquer.
Je ne vois pas d'où vient l'exposant n+1 au dénominateur.
J'ai fait ce calcul :
1/(1+x)=1-x+x2 . . . +(-1)n-1xn-1+(-1)nxn(1-x+x2 . . . )=1-x+x2 . . . +(-1)n-1xn-1+(-1)nxn/(x+1)
Il est vrai que je n'utilise pas la formule de Taylor, mais un développement en série entière.
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