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encadrement exponentielle

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fabo34 16-10-24 à 21:50

Bonjour à tous,

je voulais "étendre" l'exercice d' un livre de 1ère, mais je tombe sur un mur.
Après avoir montré:

    e^x>1+x

on nous demande d'appliquer ça pour arriver à:

\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n<e<\left(\dfrac{n}{n-1}\right)^n

Et ensuite de vérifier en python que les 2 côté converge bien vers la même valeur, à savoir e.
Tout ça ok. Mais j'aimerais bien le montrer, en restant le plus "simple" possible.

Si on pose u_n=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n et v_n=\left(\dfrac{n}{n-1}\right)^n
Alors l'inégalité de Berlouilli  (1+x)^n>1+nx   permet d'arriver à:

   \dfrac{u_{n+1} }{u_n}>1, et donc (u_n) croissante

   \dfrac{ v_{n} }{v_{n+1}}>1, et donc (v_n) décroissante.

Ainsi (u_n) et (v_n) sont convergentes. Maintenant reste à montrer leur limite commune.

J'essaie donc \dfrac{u_n}{v_n} \rightarrow 1

Or \dfrac{u_n}{v_n}=\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)^n

Je voulais éviter le u_n-v_n\rightarrow 0. Mais me voici pas mieux avancé. On peut vérifier à la calculatrice que ça a bien l'air de tendre vers 1. Peut-on s'en sortir ici?

Posté par
LeHiboure : encadrement exponentielle 17-10-24 à 00:11

Bonsoir,

On peut utiliser le fait que :
vn+1 = ((n+1)/n)n+1 = ((n+1)/n)((n+1)/n)n = ((n+1)/n)un
la limite de (n+1)/n est 1.
On en déduit que vn+1 et un ont la même limite, donc vn et un ont la même limite.

Posté par
fabo34re : encadrement exponentielle 17-10-24 à 09:16

Merci LeHibou! Quelle classe! Allez, je le remets en LaTeX tellement c'est beau:

v_{n+1}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)u_n

Du coup on a bien   e=\lim ~(1+\frac{1}{n})^n

On n'a eu besoin ni du log, ni du binôme, ni de la série  e=\sum \frac{1}{k!}.
Je trouve que c'est chouette par rapport à d'autres démo que j'ai vues!

Posté par
LeHiboure : encadrement exponentielle 18-10-24 à 09:13

Merci fabo64 pour ton retour !
Désolé de n'avoir pas fait la mise en LaTeX moi-même, il se faisait tard (00:11...), j'avais eu une grosse journée et je n'avais qu'une envie, celle d'aller dormir

Posté par
Sylvieg Moderateurre : encadrement exponentielle 18-10-24 à 18:41

Bonjour,
J'ai cherché à démontrer \dfrac{u_{n+1} }{u_n}>1, et n'y suis pas arrivée
Ça doit être pourtant assez simple.
Mais, en cherchant, j'ai réussi démontrer la limite de \; \left( 1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} \; sans utiliser les sens de variation :

En remplaçant \; n \; par \; n+1 \; dans \; e<\left(\dfrac{n}{n-1}\right)^n \; on obtient \; e<\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n+1} .

D'où \; \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n<e<\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n+1} .

Puis \; \left(\dfrac{n}{n+1} \right) e < \left(\dfrac{n+1}{n} \right)^{n} < e .
Le membre de gauche a comme limite e.

Posté par
fabo34re : encadrement exponentielle 18-10-24 à 21:12

@Sylvieg: ah oui! Au départ j'ai peut-être inutilement "compliqué" le problème en introduisant la suite v_n ! Il n'y avait pas besoin. En fait, ça s'écrit:

  u_n<e<\dfrac{n}{n-1}u_{n-1}

Pour la croissance de (u_n):

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+2}{n+1}\left(\dfrac{(n+2)n}{(n+1)^2}\right)^n=\dfrac{n+2}{n+1}\left(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right)^n

Là on applique l'inégalité de Bernouilli

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\ge \dfrac{n+2}{n+1}\left(1-\dfrac{n}{(n+1)^2}\right)

Les calculs se goupillent étonnament bien.
Au final je trouve:

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1+\dfrac{1}{(n+1)^3}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : encadrement exponentielle 19-10-24 à 08:30

Merci fabo34
J'ai ouvert un sujet sur ce sens de variation en espérant que quelqu'un trouvera une démonstration plus élémentaire, sans Bernouilli.
Sens de variation d'une suite

Posté par
fabo34re : encadrement exponentielle 19-10-24 à 11:32

@Sylvieg : j'avais cherché sur internet dans ton sens, mais rien trouvé. Je me suis dit que finalement l'inégalité de Bernoulli était le plus simple (j'en profite ici pour corriger l'erreur sur le nom que j'ai aussi faite). Je ne sais pas comment il l'a démontré à son époque. Et c'est là que les IA sont intéressantes, en espérant qu'elles ont gobé tous les livres d'histoire des mathématiques.

En effet, sur Bing, Copil me dit ceci: "Oui, je peux te donner un aperçu de la démonstration originale de Jacob Bernoulli. Jacob Bernoulli a publié l'inégalité qui porte son nom dans son traité "Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis" en 1689. Pour prouver cette inégalité, il a utilisé une méthode d'induction mathématique, une technique couramment utilisée pour établir des résultats pour tous les nombres naturels." . Là il me reccrache la démonstration par récurrence qui est finalement très simple.

Posté par
fabo34re : encadrement exponentielle 21-10-24 à 15:16

Maintenant comment montrer e ^ x=\lim_n ~\left(1+\frac{x}{n}\right)^n ?
A partir d'une certaine valeur de n,  n-x>0
Et donc on peut appliquer la même technique à partir de e^x > 1+x

D'où:

\left(\dfrac{n+x}{n}\right) ^n< e^{x}<\left(\dfrac{n}{n-x}\right)^n

ou idem:

\left(1+\dfrac{x}{n}\right) ^n< e^{x}<\left(1+\dfrac{x}{n-x}\right)^n

Mais précédemment ça se travaillait bien avec les n, n+1
Avec la technique de Sylvieg

\left(\dfrac{n+x}{n}\right) ^n< e^{x}<\left(\dfrac{n+1}{n+1-x}\right)^{n+1}


Là je ne vois plus. On peut s'en sortir ici ?

Posté par
fabo34re : encadrement exponentielle 22-10-24 à 18:18

Personne? On dégaine le logarithme, alors?

L'exercice part de  e^x > 1+x en étudiant les variations  de la fonction f(x)=e^x -(1+x) et en déduire sa positivité. Ca veut donc dire qu'on part la définition de l'exponentielle comme (e^x)'=e^x, ~e^0=1.

Il semble qu'on n'y ait plus le choix. Faire appel à la fonction réciproque et \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{ln(1+x)}{x}=1
Ici:

ln\left((1+\dfrac{x}{n})^n\right)=x  \dfrac{ln(1+x/n)}{x/n} \rightarrow x

Fin de l'épisode, ou une dernière astuce pour éviter cela?


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