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Encadrement sin(x) +4cos(x)

Posté par
tetras 14-11-23 à 19:57

Bonjour

J'ai tracé la représentation graphique de f(x) =sin(x) +4cos(x)
Il semblerait qu'elle varie dans l'intervalle [-4;+4]

J'ai essayé de démontrer ce résultat
'j' obtiens
-4-4cos(x)+4
-1sin(x) 1

-5sin(x)-4cos(x)5

C'est faux ?
Merci de votre aide

Posté par
tetrasre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 14-11-23 à 19:59

Pardon la fonction est bien sin(x) - 4cos(x) contrairement au titre

Posté par
fabo34re : Encadrement sin(x) +4cos(x) 14-11-23 à 20:45

Bonsoir.

L'encadrement par [-5;5] est juste mais trop large.
Et celui par [-4;4] est faux.
Ta fonction est le plus précisément encadrée par [-17; 17].

C'est un "classique" de somme de cos et sin.

f(x)=\sin(x)-4\cos(x)=-\sqr{17}(\dfrac{4}{ \sqr{17} }\cos(x)-\dfrac{1}{\sqr{17}}\sin(x))
On pose \cos(\phi)=4/\sqr{17} et  \sin(\phi)=1/\sqr{17}, ce qui est possible car \cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)=1

Alors f(x)=-\sqr{17}\cos(x+\phi)

d'où l'encadrement.

Posté par
carpediemre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 14-11-23 à 20:50

salut

ce que tu écris est exact mais cet encadrement "grossier" ne permet pas d'obtenir l'encadrement plus fin que tu cherches

avec m = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt {17}

et w un angle tel que \cos w = \dfrac 1 m \\ \sin w = \dfrac 4 m

alors tu peux écrire f(x) = m [\cos w \cos x - \sin w \sinx]= m \cos (x - w)

et tu peux étudier les variations d ela fonction f ...

le seul pb est que w n'est pas un angle "classique" !!

Posté par
carpediemre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 14-11-23 à 20:52

fabo34 a dégainé plus vite que moi

et j'ai oublié un sin x

Posté par
tetrasre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 14-11-23 à 21:01

Je ne comprends pas...


Merci pour vos 2 messages.
D'où vient le 17?

Posté par
carpediemre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 14-11-23 à 21:08

je te l'ai calculé !!

Posté par
tetrasre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 14-11-23 à 21:22

Oui 17 est la somme de deux carrés mais je ne comprends pas la méthode.
quelle notion de cours votre méthode utilise ?

Posté par
tetrasre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 14-11-23 à 21:32

Pourquoi as tu calculé \sqrt{1^{2} +4^{2}}?
Merci

Posté par
fabo34re : Encadrement sin(x) +4cos(x) 14-11-23 à 22:36

carpediem t'as expliqué.

Mais je vais reformuler encore une fois.
La technique générale est la suivante:
Déjà tu factorises:

A\cos(x)-B\sin(x)=\sqr{A^2+B^2} ( \dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos(x) - \dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2} }\sin(x))

Ensuite tu poses :

\begin{cases}\cos\phi=\dfrac{A}{\sqr{A^2+B^2}} \\ \sin \phi = \dfrac{B}{\sqr{A^2+B^2}} \end{cases}

Tu peux vérifier qu'on a bien \cos^2\phi+\sin^2\phi=1


Enfin tu utilises l'identité \cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)


Ce qui donne:

A\cos(x)-B\sin(x)=\sqr{A^2+B^2} \cos(x+\phi)

Est-ce que ça va?

Posté par
tetrasre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 14-11-23 à 22:46

C'est en quelle classe qu'on voit ça ?

Posté par
fabo34re : Encadrement sin(x) +4cos(x) 15-11-23 à 08:33

En Terminale STI2D, c'est dans le cours de maths, dont le résultat est souvent utilisé en physique: la superposition (==la somme ) de 2 signaux sinusoïdaux de même fréquence est un signal sinusoïdal de la même fréquence. Cela illustre par exemple les phénomènes d'interférence entre 2 ondes de même fréquence.

Après, c'est juste une technique qu'il faut connaître. Ca peut être proposé dès la 1ère dans un exercice guidé.

Posté par
fabo34re : Encadrement sin(x) +4cos(x) 15-11-23 à 08:41

Pour la formule  \cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)


Sur un site, j'avais trouvé la figure suivante. Ça peut donc même se retrouver en classe de 3ème, ici pour des angles inférieurs à 45° .

Encadrement sin(x) +4cos(x)

Posté par
carpediemre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 15-11-23 à 10:06

pour le calcul de \sqrt {17} on voit cela au collège avec le théorème de Pythagore et le triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 4 et 1

les formules d'addition pour les cosinus et sinus sont vues en première générale ou en terminale (toute)


PS : j'ai fait des fautes du fait que sin et cos sont permutés

Posté par
tetrasre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 15-11-23 à 13:07

Merci j'avance dans la compréhension

Posté par
tetrasre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 16-11-23 à 10:54

Et donc vu que cos (u) est compris entre-1 et 1,alors f est comprise entre-V17 et +V17

C'est bien cela ?
Merci

Posté par
fabo34re : Encadrement sin(x) +4cos(x) 16-11-23 à 12:03

Oui, ç'est ça.

Posté par
fabo34re : Encadrement sin(x) +4cos(x) 16-11-23 à 12:18

Tu avais corrigé le signe du sinus dans ta fonction f(x).

Mais au final, tu peux constater que les fonctions  \sin(x) +4\cos(x)  et  \sin(x) -4\cos(x)  ont le même encadrement!  C'est juste le déphasage (la valeur de \phi ) qui diffère.

Encadrement sin(x) +4cos(x)

Posté par
tetrasre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 16-11-23 à 12:19

merci
je ne comprends encore pas tout dans ton schéma du 15.11 à 8.41

Posté par
mathafou Moderateurre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 16-11-23 à 12:59

Bonjour,

le codage des angles et l'indication "cos cos " ne sont pas claires sur la figure sans y réfléchir

avec des noms de points et de segments et les codages d'angles sans ambiguïté (pas reporté toutes les valeurs, réfléchir )

Encadrement sin(x) +4cos(x)

Posté par
mathafou Moderateurre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 16-11-23 à 13:33

erreur de texte sur ma figure OC = \cos \red \beta

Posté par
fabo34re : Encadrement sin(x) +4cos(x) 16-11-23 à 14:05

Bonjour @mathafou

Merci pour cette figure qui est effectivement plus claire.
Voici avec la correction de ton erreur et l'ajout des angles droits, notamment celui qui montre comment on "construit" le point C (qui est le projeté orthogonal de B sur la droite formant l'angle .

@tetras : il n'y a qu'à appliquer les formules de trigonométrie dans les triangles rectangles.

Encadrement sin(x) +4cos(x)

Posté par
tetrasre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 21-11-23 à 19:59

Je comprends juste que cos(b) =OC

Posté par
fabo34re : Encadrement sin(x) +4cos(x) 21-11-23 à 20:46

Alors, tu peux aussi comprendre que \sin(\beta)=BC

Puis FC=BC\sin(\alpha)
Soit FC=\sin(\beta)\sin(\alpha)

Puis OE=OC \cos(\alpha)
Soit OE=\cos(\beta)\cos(\alpha)

Avec OD=\cos(\alpha+\beta)=OE-FC
On tombe sur:

\cos(\alpha+\beta)==\cos(\beta)\cos(\alpha)-\sin(\beta)\sin(\alpha)

Chouette, non?

Posté par
tetrasre : Encadrement sin(x) +4cos(x) 21-11-23 à 22:33


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