bon en fait j'ai trouvé qqc mais je ne suis pas sure de mon raisonnement

13ⁿ+3³ⁿ== 0 (10)
13ⁿ== -3³ⁿ (10)
or -3³ⁿ= -(3³)ⁿ
or (3³⁾== -3 (10)
d'où on obtient :
13ⁿ== -(-3)ⁿ (10)

deux cas n pair, n impair

si n est pair
13ⁿ== -3ⁿ (10)
alors là je commence à m'embrouiller :
13ⁿ+3ⁿ== 0 (10)
si on revient à l'expression de départ alors on a qqc comme :
13ⁿ+3³ⁿ== 13ⁿ+3ⁿ(10)
3³ⁿ== 3ⁿ(10)
3²ⁿ== 1 (10)
or 3⁵ == 1 (10)
d'où 2n=5q   => 5|n or n est pair d'où 10|n
on en conclut que n=10k est solution

(ceci me paraît bien incertain)

n est impair
13ⁿ== - (-3ⁿ) == 3ⁿ(10)
or 13 == 3 (10) d'où, quelquesoit n
13ⁿ== 3ⁿ (10)

ici n est impair donc n=2p+1 est solution de notre équation.

En somme n=10k et n=2p+1 sont solutions


Merci de me dire si ce type de raisonnement est valable

bonsoir zineb

13=3 mod(10) donc 13^n=3^n mod(10)

3^(3n)=(3^3)^n=27^n.

27=7 mod(10)

donc 27^n=7^n mod(10)

Posons An=13^n + 3^(3n)

donc An=3^n + 7^n mod(10)

remarquez maintenant que 3 et 7 sont complémentaires par rapport à 10.

7=10-3

7^n=(10-3)^n
  = somme(p=1àn;C(n,p)(10^p)(-3)^(n-p) ; formule du binome.
  = 10q+(-3)^n

donc 7^n=(-3)^n mod(10)

donc An=3^n + (-3)^n mod(10)

donc si n est impair alors An=3^n-3^n=0 mod(10)

dans ce cas 10 divise An.

si n est pair An=2.3^n  mod(10).

Et on obtient une décomposition en facteurs premiers du terme d congruance dans laquelle ne figure pas 5 mais seulement 2 et 3. dans ce cas si n est pair An ne sera jamais divisible par 10.

la solution est donc n est impair.

voila bon courage

merci watik c'est gentil de m'aider !
donc ce que j'ai fait concernant le cas où n est pair est faux ...

au revoir

bonsoir zineb

votre raisonnement aurait pu aboutir. Mais il est précipité à partir de "d'où 2n=5q   => 5|n or n est pair d'où 10|n
on en conclut que n=10k est solution"

en fait vous n'avez pas simplifié la congruence de 13^n mod(10).

Défendre sa solution est une qualité très importante pour progresser car on gagnera à reforcer son estime du soi. Mais prendre aussi l'habitude de lire la solution des autres et de la critiquer permet d'enrichir sa méthode et son développement du raisonnement mathématique.

voila j'espère que je n'étais pas long.

bonsoir