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Je fais dans le cas k=3, ça montre bien l'idée et puis il me semble bien que ça marche tout le temps.
Toute application linéaire étant entièrement déterminée par son action sur une base, suffit de tout prouver sur une base, le reste s'obtenant par linéarité.
Ici, je pose:
tel que (1,X,X²,X³,...) soit envoyé sur (1,1,1,X,...)
tel que (1,X,X²,X³,...) soit envoyé sur (1,1,-1,X,...)
tel que (1,X,X²,X³,...) soit envoyé sur (1,-1,-1,X,...).

On se donne alors f dans A. Pour déterminer tels que il suffit de déterminer leur action sur une base. Ainsi par exemple pour on est amené à résoudre un système de 3 équations à trois inconnues... dont le déterminant est non nul. Idem pour le reste, le déterminant ne changeant jamais vu qu'on a tout fait pour.
Donc c'est fini, on a bien notre base.

Dans le cas quelconque, l'idée est exactement la même. C'est cette sorte de redondance qui assure la liberté et le caractère générateur.

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Ce n'est pas ma solution, mais ça n'est pas grave. Néanmoins tes applications doivent vérifier la relation fonctionnelle pour tout et je ne suis pas sure que ce soit le cas! As-tu vérifié?

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Il me semble bien que oui.

En détermine les simultanément, par un système de 3 équations à 3 inconnues celui-ci étant:


Le déterminant du système est non nul, donc il y a unicité des .

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Je crois avoir compris! Tes petits points dans la définition des signifient que l'on met X,X,X, pour puis X,X,-X dans et ainsi de suite ? Si oui, c'est OK.

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Oui c'est ça.

Je passe au 2) alors.

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Une question (ça fera figure de nain dix): on arrive à en exhiber un ou bien on prouve que le contraire n'est pas possible?
Vu la première question (et mes échecs pour en exhiber un) je penche pour la deuxième option, mais ça risque de se révéler assez difficile.
Ta solution est de quel type?

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Oui, bien sur que l'on peut en exhiber! Puisque tu sais, par exemple, qu'il y a une base ayant deux éléments et une qui n'en a qu'un!

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Je dois avoir une mauvaise méthode alors... Je continue d'y réfléchir.

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C'est évident! Un morphisme est bien défini par les images d'une base! >> C'est aussi ce que je me disais au début mais en fait non. Je prends par exemple une base à deux éléments (a,b).
J'appelle phi l'application qui envoie a sur Id_A et b sur l'application nulle.
Cette application ne peut pas être A-linéaire, aucune chance!

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Que si! C'est le principe général; tu la prolonges par: un élément v s'écrit de manière unique et tu lui fais correspondre (attention, ici ce n'est pas mais l'element unité de A qui est Id(R[X])

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Quel imbécile! Oui oui ça marche, donc c'est fini, cette application répond au problème.

Mon erreur (énormissime) se situait ailleurs. J'ai conclut trop vite quant à la non A-linéarité, j'aurai dû l'écrire proprement, ça m'aurait évité de dire une telle ânnerie.

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Une question cependant: Où intervient la non-commutativité?
J'ai ma 'tite idée sur la question mais je préfère éviter de dire une autre ânnerie.

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Juste pour k=2, pour éviter les erreurs d'indices.

est défini par et
est défini par et

Si f est un élément de A et si il est immédiat qu'on doit avoir et pour tout n, ce qui montre que est une base du A-module A.

Il est clair que ça se généralise à k quelconque. D'après Bourbaki, mais je ne l'ai pas fait, ceci entraine même l'existence de familles libres infinies.

Alors on obtient un morphisme surjectif et non injectif en envoyant sur et sur 0. Ici il est facile de l'expliciter; on envoye donc un élément f sur le ci-dessus. Précisément

Soit définie par . Il faut vérifier que c'est A-linéaire, et si h est un élément de A, en posant et n'importe quoi on a F(f)=h, ce qui montre que F est surjective non-injective.

Pour répondre à la dernière question de Ayoub: Un M-module libre de type fini sur un anneau A commutatif a toutes ses bases de même cardinal. Mais j'avoue qu'en ce moment je ne vois pas trop où ça aurait coincé dans ce cas particulier!

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Ok Camélia, merci.

D'après Bourbaki, mais je ne l'ai pas fait, ceci entraine même l'existence de familles libres infinies. >> Tu aurais la référence? A ce qu'il paraît ils sont à la bibilothèque du lycée, j'aimerais y jeter un oeil un de ces quatre, just for fun. (Quoique Bourbaki JFF... ).