Niveau autre

Encore et toujours des racines...

Posté par dark64 (invité) 23-01-05 à 09:52

Bonjour à tous

Soit les réels

x= $\sqrt{17+12\sqrt{2}}$
y= $\sqrt{17-12\sqrt{2}}$

Montrer que $x.y=1$
On pose a=x+y et b=x-y
Calculer $a^2 et b^2$

En déduire a et b et une expression simple de x et de x.

Encore merci d'avance pour vos explications.

Posté par jami (invité)re : Encore et toujours des racines... 23-01-05 à 10:45

Cet exercice fait appel à tes connaissances sur les fractions ET sur les produits remarquables.
Il faut donc, pour la question 1, calculer :
[/smb] x [/smb]=
) x (17-12)[/smb]
C'est du type (a+b) x (a-b) = ....a²-b².
Donc tu peux écrire :
= )²[/smb]
=

=1.

Pour la question2), prends le temps d'écrire la quantité a et aussi b. Observes qu'elles sont proches (à un signe près).
Tu dois employer les deux autres produits remarquables, et dans tes calculs, utilises la réponse 1).
Bon courage !

PS : v'est la première fois que je poste sur ce forum, donc je ne suis pas sur des écritures avec les racines, donc .... je tente ....

Posté par re : Encore et toujours des racines... 23-01-05 à 10:48

xy = V(17+12V2).V(17-12V2)
xy = V[(17+12V2)(17-12V2)]
xy = V(17²-(12V2)²)
xy = V(289-288)
xy = 1

a = x+y (donc a > 0 puisque x et y > 0)
a² = x²+y²+2xy
a² = 17+12V2 + 17-12V2 + 2
a² = 36
a = 6

b = x - y (b > 0)
b² = x²+y²-2xy
b² = 17+12V2 + 17-12V2 - 2
b² = 32
b = 4V2

a + b = x + y + x - y = 2x
x = (a+b)/2
x = 3 + 2V2

y = x - b
y = 3 + 2V2 - 4V2
y = 3 - 2V2
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Sauf distraction.