je me suis trompée dans l'énoncé: c'est f(x)=x/(x²+1)

Bonjour quand même

Pour montrer la bijectivité de f de R sur ]-1;1[ il te suffit de démontrer que f est monotone sur R et que ]-1;1[f(R)

Pour la bijection réciproque :

On te demande en fait de trouver une fonction que l'on va nommer P tel que f(P(x))=x

Autrement dit une fonction P tel que :


En mettant au carré :


<=>

On en déduit que :


donc que :


soit :


et au final :


Voila . n'hésite pas a poser des questions si besoin

pour montrer qu'il s'agit d'une bijection de R dans ]-1;1[ il faut que tu détermine le tableau de variation de ta fonction
donc tu dérives ta fonction : f'(x)=1/(x²+1)^3/2
donc sur R f'(x)>0 donc f est strictement croissante
or la limite de f(x) en - l'infini est = à -1 et la limite de f(x) en + l'infini est = à 1 donc la fonction est comprise entre -1 et 1
il s'agit donc bien d'une bijection de R dans ]-1;1[
t'as compris je suis assez clair
par contre pour l'application réciproque je ne suis pas sur donc je préfère rien dire
[u][/u]

bonsoir Nightmare et titi91! merci d'avoir répondu  à mon problème.
ok pour montrer que f définit une bijection;
pour la fonction réciproque,j'ai trouvé pareil que toi Nightmare mais comme x peut être négatif ou positif, on a deux fonctions différentes selon les valeurs de x, c'est bon quand même?

Non , elle n'en a qu'une seule , celle qui contient la valeur absolue . C'est une application . il est sur qu'on peut la décomposer par morceau mais ca sera toujours une seule application .

On peut écrire :



ou :



Quoi qu'il en soit , on ne sera toujours qu'en présence d'une seule application . Une définie par morceau , l'autre par une valeur absolue

daccord merci nightmare j'ai compris