Je ne pense pas qu'il y ait de cours sur ce sujet sur ce site.
En fait je ne pense pas que l'on dise que l'opérateur admette une base de vecteurs propres dénombrables, au mieux l'espace sur lequel agit l'opérateur admet une base formée de vecteurs propres, ce qui est le cas pour les opérateurs compacts autoadjoints mais pas pour les opérateurs compacts seulement.
Cependant tout opérateur compact a son spectre dénombrable ou autrement dit l'ensemble de ses valeurs propres est au plus dénombrable.
Si tu veux je te fais la démonstration sinon je peux te citer des livres dans lesquels tu trouveras ton bonheur.

Salut, je ne connais pas tellement des références en théorie des opérateurs (j'ai en tête un gros en jaune écrit en anglais, mais j'ai oublié le nom, donc ca ne sert pas à grand chose), mais dans le Brézis (Dunod), chapitre 2, il y'a une petite introduction sur le sujet. Dans le livre de Marc Chaperon, analyse différentielle chez Dunod, il y'a aussi un peu d'analyse spectrale, mais je ne sais pas vraiment ce que ca vaut (ca s'adresse à des licences, mais ca ne se lit qu'après une bonne maitrise ou à l'ENS).
Je crois que dans le Rudin, real and complex analysis, il doit y en avoir un peu, sauf erreur de ma part.
A+

En effet si tu veux juste des bases sur les opérateurs tu as le Brézis et aussi le Hirsch Lacombe analyse fonctionnelle qui en parle un peu.