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endomorphise, base, matrice diagonale

Posté par
garnouille 15-05-22 à 04:06

Bonjour,
J'aide un étudiant mais mes souvenirs ne suffisent plus...
toute  piste est bienvenue : merci d'avance

u est un endomorphisme de 3 dont la matrice dans la base canonique est :

u=\begin{pmatrix} 0&1 &2 \\ 1& 2 &1 \\ 2& 4 &2 \end{pmatrix}

Je bloque sur la question : "Déterminer une base B' telle que MatB'(u) est une matrice diagonale

les questions précédentes portent sur les noyaux de u  ,  u+Id3  et  u-5Id3

Posté par
etniopalre : endomorphise, base, matrice diagonale 15-05-22 à 08:07

   Quels sont les noyaux de  u + Id  et  u  -5.Id  ?

Posté par
garnouillere : endomorphise, base, matrice diagonale 15-05-22 à 10:25

Bonjour etniopal

Ker (u +Id) = {(-5x ; x ; 2x )  avec x réel }

Ker( u -5Id) = { (0;0;0) }

Posté par
GBZMre : endomorphise, base, matrice diagonale 15-05-22 à 10:46

Bonjour,
Tu t'es trompée dans la calcul du noyau de u-5\mathrm{Id} ; et quid du noyau de u ?

Remarque qu'un vecteur x appartiant au noyau de u-\lambda\mathrm{Id} si et seulement si u(x)=\lambda\,x.
Une base de \R^3 dans laquelle la matrice de u est diagonale, c'est une base (e_1,e_2,e_3) telle qu'il existe des scalaires \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 tels que u(e_i)=\lambda\,e_i pour i=1,2,3.

Posté par
garnouillere : endomorphise, base, matrice diagonale 15-05-22 à 18:22

Bonsoir GBZM et grand merci pour tes indications

Je pense que j'ai compris le principe, je vais essayer de concrétiser

ma correction pour Ker(u - 5Id) : {(x ; x ; 2x) , x réel}

et Ker(u) = {(3x ; -2x ; x) , x réel}


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