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Niveau maths sup
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endomorphisme cyclique

Posté par
j123456
16-02-21 à 00:07

Bonsoir, je bloque sur une partie d'un problème donc si quelqu'un pouvait m'éclairer, ça serait avec plaisir. (On vient de débuter l'algèbre linéaire donc j'ai un peu de mal..).

Soit E, un R espace vectoriel de dimension 2. Soit n≥2. On dit qu'un endomorphisme f de E est cyclique d'ordre n lorsqu'il existe n vecteurs e1,…,en de E vérifiant :
-(e1,...,en) est une famille génératrice de E,
-f(e1)=e2,...,f(en-1)=en, f(en)=e1 et
-∀p, 2≤p≤n, ep≠e1.

(Hormis pour la question 4, f∈L(E) et est cyclique d'ordre n.)

1) Montrer que si (e1,...,en) est un cycle pour f, la famille (e1,e2) est une base de E.
2) Montrer que:
- f^n=id
- Pour tout k, 1≤k≤n−1, f^k≠id.
3) En déduire l'unicité de n tel que f soit cyclique d'ordre n.
4) Exhiber un endomorphisme f de E tel que f≠id et f2=id qui n'est pas cyclique.

1)J'ai réussi cette question.
2)On déduit de la question précédente que f((e1,e2))=(e2,e1) donc f((e1,e2)) est une base de E, f est donc un isomorphisme f est bijective mais comment justifier que f\circfn-1=id. Existe-il une autre solution plus simple?
3)J'ai réussi cette question .
4)Je n'ai aucune idée pour cette question, si quelqu'un pouvait me donner un coup de pouce pour savoir comment procéder ou me donner un exemple..

Merci beaucoup si vous prenez du temps pour répondre !

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 04:46

Bonsoir

Si (e_1, e_2) est une base, un endomorphisme f est entièrement déterminé par f(e_1) et f(e_2)

Ainsi, il suffit de vérifier que  f^n(e_1)=e_1  et  f_n(e_2)=e_2

pour montrer que pour tout  k\in[\![1,n-1]\!],\quad f^k\ne id    il suffit de trouver un vecteur particulier pour lequel c'est faux

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 04:58

Pour l'endomorphisme, voici une piste :

Déjà, il suffit de montrer que f n'est pas cyclique d'ordre 2. Car on sait déjà d'après la question précédente qu'un tel endomorphisme  (f\ne id \quad\text{et}\quad f^2=id)  ne peut pas être cyclique d'un autre ordre que 2

Ensuite, si on part d'un vecteur quelconque  e_1, on aura e_2=f(e_1)
On voudrait que pour tout vecteur e_1, la famille (e_1,e_2) ne soit pas génératrice. Quelle est une condition simple pour qu'une famille de vecteurs ne soit pas génératrice en dimension 2 ?

Posté par
etniopal
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 08:55

Pour 1 :
     Puisque  E est de dimension 2 et  que {e1 ,.....,en} engendre E il suffit de montrer (par exemple)  que  {e1 ,e2} est libre .

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 12:49

Ok merci pour vos réponses:

pour la 2 j'ai considéré le vecteur fk(en-k+1):
même si je n'arrive pas à trouver sa valeur je sais qu'il est différent de en-k+1.
Pour la 4),il suffit que les vecteurs soient colinéaires donc c'est à dire que je prends un multiple judicieux de e1, je pensais à f(e2)=-e1 mais dans ce cas f2\neid..
Et de plus j'ai une autre question:
si on souhaite exhiber l'endomorphisme par sa matrice, c'est ici sa matrice dans la base canonique de \mathbb{R}?

Merci de votre aide!

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 12:50

\mathbb{R}^2 pardon

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 12:53

Citation :
je pensais à f(e2)=-e1 mais dans ce cas f2\neid..


tu es sûr ?

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 12:54

si ce n'est pas précisé, tu représentes l'endomorphisme dans la base que tu veux. Tu peux aussi directement l'exprimer par l'expression de f(x), ou l'expression des vecteurs de la base que tu veux (ce qui revient au même que de donner sa matrice dans la base que tu veux)

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 12:57

en ce qui concerne la valeur de  f^k(e_{n-k+1}), appliquer  f  à un des vecteurs  e  donne le vecteur suivant

et a priori, l'énoncé ne dit pas que deux vecteurs quelconques de la famille sont distincts, on ne sait que qu'ils sont distincts chacun de e1... Peut-être qu'ils le sont, mais ça demande des démonstrations supplémentaires. Une récurrence immédiate donne que f^k(e_1)=e_{k+1}\ne e_1  pour  1\le k \le n-1

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 15:08

ok pour la récurrence:

mais pour la 4), f2(e1)=-e1 et  f2(e2)=-e2 donc f2\neid non ?

sinon, on aboutit a l'endomorphisme f défini par mat((1,0)(0,1))f=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 15:15

quel est l'endomorphisme auquel tu penses quand tu dis f(e_1)  = -e_1 et f(e_2) = -e_2 ?

Es-tu sûr que f^2(e_2) = -e_2 ?

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 15:28

J'avais en plus 3 ou 4 questions où je bloquais vu que ce problème est relativement long. J'en profite donc pour vous demander de l'aide:

6)Quelle est la nature géométrique d'un endomorphisme d'ordre 2?
Le cycle d'un endomorphisme d'ordre 2 doit engendrer E, ici un espace vectoriel de dimension 2 donc un endomorphisme cyclique d'ordre 2 est une droite???

7)Démontrer qu'il existe 2 réels a et b et une base de E dans laquelle la matrice de f est :
Aa,b=\begin{pmatrix}0&a\\1&b\end{pmatrix}.
On peut modifier la matrice de la question 5 mais est-ce que n'importe quelle base convient?

8)Montrer que f2=aId+bf. En déduire que si dans 2 bases différentes, les matrices de f sont Aa,b et A\alpha,\beta, alors a=\alpha et b=\beta
J'ai réussi la première partie. Pour la déduction, on obtient aId+bf=\alphaId+\betaf mais je ne sais pas si il faut aboutir à une absurdité ou alors faire (a-\alpha)Id+(b-\beta)f=0 et pouvoir conclure..

9)En résumant tout ce que vous venez de faire déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur a et b pour que f soit cyclique d'ordre 2 puis d'ordre 3.
Je ne sais pas comment procéder pour cette question.

Merci beaucoup si vous prenez du temps pour répondre!

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 15:40

je pense a l'endomorphisme défini par f=-id ,

Si on prend f(e1)=e2 et f(e2)=-e1,
f2(e2)=f(f(e2)) or  f(e2)=-e1 donc
f2(e2)=f(-e1) or f(-e1)=-e2 donc
f2(e2)=-e2
J'avoue que je ne comprends pas mon erreur ici

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 16:06

qui a dit que f(e2) = -e1 ?
au contraire, c'est f(e2)=e1, car l'endomorphisme est cyclique

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 16:49

Je pense que j'ai mal compris ce que vous avez dit:
pour la question 4, si f(e1)=e2 et f(e2)=e1, alors f2=id et f\ne=id mais f est cyclique donc on ne répond pas à la question. Plus haut dans la conversation vous m'avez dit  de prendre un vecteur e2 tel que f(e1)=e2 et d'ensuite trouver un 2 ème vecteur tel que pour un espace vectoriel de dimension 2, e1 et e2 ne soient pas colinéaires.
Et plus haut vous m'avez mis:

Citation :
Citation :
je pensais à f(e2)=-e1 mais dans ce cas f2\neid..


tu es sûr ?

donc je pensais être sur la bonne voie

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 16:51

soient colinéaires pardon

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 16:53

Si j'ai bien compris, pour que (e1,e2) ne soit pas génératrice, il faut, en dimension 2 que e1 et e2 soient colinéaires donc à partir de là je ne sais pas comment trouver f(e2)

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 17:05

Oui je me suis trompé, je ne voulais pas dire cyclique, mais plutôt le fait que f^2=id

Reprenons plus simplement

tu as proposé f=-id, je te dis que cet endomorphisme convient en effet
Il suffit de vérifier les propriétés  f\ne id,~ f^2=id,~$et$~f $ non cyclique$

la première est triviale
la deuxième, tu as l'air d'avoir du mal alors qu'elle est très simple. Si x est un vecteur quelconque, que vaut f^2(x) ?
la troisième, c'est l'histoire de vecteurs colinéaires. Pour tout vecteur e_1, en posant e_2=f(e_1), on veut que (e_1,e_2) soit une famille liée. Est-ce bien le cas ?

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 17:28

ah d'accord !
je pensais plus haut qu'on parlait de l'endomorphisme défini par f(e1)=e2 et f(e2)=-e1, j'avais confondu:
il est en effet simple de voir que -id convient vérifie les 3 conditions

d'où mat((1,0),(0,1))f=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}.
Merci de votre aide !

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 17:32

C'est bon

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 16-02-21 à 19:53

J'abuse un petit peu mais auriez vous une idée pour les 4 questions supplémentaires sur lesquelles je bloque?
Merci beaucoup si vous y passez du temps et bonne soirée!

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 17-02-21 à 11:18

c'est pas un abus puisque c'est le même exercice et on peut se tutoyer, je suis étudiant comme toi certainement

6) On a vu qu'un endomorphisme cyclique d'ordre 2 vérifiait entre autres f^2=id. Ca ne te rappelle pas un certain type d'endomorphisme ?

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 17-02-21 à 13:51

Ok merci!
Oui je suis en prépa mpsi, et si je ne suis pas indiscret quel est ton niveau d'étude?

C'est une symétrie donc on peut penser à la matrice d'une symétrie qui pourrait convenir mais il faudrait qu'elle soit en plus cyclique et là je ne sais pas comment procéder..

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 17-02-21 à 14:04

Je suis en M1, comme c'est écrit (partiellement) sur mon profil

Oui, une symétrie, par rapport à un sev de E.

Quelles sont les symétries en dimension 2 ? Lesquelles sont cycliques ?

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 17-02-21 à 15:39

ok! Oui, je n'avais même pas fait attention qu'on pouvait voir les profils..

Il y a entre autres la symétrie centrale qui est cyclique, mais la matrice d'une symétrie a toujours des 1 sur sa diagonale non?

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 17-02-21 à 16:01

Il y a autant de symétries qu'il y a de sev dans E

La symétrie centrale est la symétrie associée au sev {0}
Les symétries axiales pour les sev de dim 1
L'identité qui est la symétrie par rapport à E lui-même

Lesquels sont cycliques?
Tu es sûr pour la symétrie centrale ? Peut-être que tu peux la réécrire autrement. C'est quoi une symétrie centrale d'un vecteur x ?

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 17-02-21 à 16:17

Ah oui une symétrie axiale est une homothétie de rapport -1 ou une rotation de pi radians donc elle n'est pas cyclique, je ne saurai pas décrire une symétrie pour un vecteur x quelconque.

Je pense donc que l'identité est ici cyclique

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 17-02-21 à 16:19

L'identité est cyclique d'ordre 2 ? Tu ne disais pas ça au point 2)

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 17-02-21 à 17:14

oui c'est vrai que je contredis ce que je dis avant..
Par déduction ce sont les symétries axiales qui sont cycliques non?

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 17-02-21 à 17:16

Oui, mais pourquoi elles le sont ? Il faut le montrer
Il pourrait très bien n'en avoir aucun

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 17-02-21 à 17:26

on prend un vecteur x dans une base de \mathbb{R}2 et on lui applique la définition d'une symétrie axiale pour un vecteur quelconque mais je ne vois pas ce que ça pourrait être, j'ai encore du mal à me représenter les choses.

Posté par
Zormuche
re : endomorphisme cyclique 17-02-21 à 18:02

On a bien f différent de id, et f^2=id. Il suffit de vérifier qu'on a bien un cycle, c'est-à-dire qu'il existe e1 et e2 tels que f(e1)=e2, f(e2)=e1 et la famille (e1,e2) est libre

Posté par
jeanseb
re : endomorphisme cyclique 17-02-21 à 22:01

Bonsoir

j123456 @ 17-02-2021 à 16:17

Ah oui une symétrie axiale est une homothétie de rapport -1 ou une rotation de pi radians  


C'est inexact: c'est une symétrie centrale qui est une homothétie de rapport -1 : f(e1) = -e1 et f(e2)= - e2  

matrice \begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}

donc pour tout v, f(v)= -v =-1.v

symétrie axiale de direction le vecteur e1 : soit e2 un vecteur orthogonal non nul f(e1) = e1 et f(e2)= - e2  

matrice \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}

Ce n'est pas une rotation car le déterminant vaut -1

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 18-02-21 à 13:23

oui merci jeanseb pour les indications et oui j'ai inversé les 2 symétries..

Je ne comprends pas zormuche:
jeanseb me dit qu'une symétrie axiale de direction e1 est définie par f(e1)=e1 et f(e2)=-e2 donc si f(e1)=e2 et f(e2)=e1 alors, e2=e1 et -e2=e1 ce qui est absurde et de plus (e1,e2) ne sera ici jamais libre.
Comment trouver ici une base?

Posté par
jeanseb
re : endomorphisme cyclique 18-02-21 à 13:45

Attention! je t'ai donné UN exemple de symétrie axiale, celle d'axe e1.

Celle de Zormuche est la symétrie axiale qui échange e1 et e2, donc d'axe "la direction bissectrice de e1 et e2"

l'image de {e1,e2} est {e2, e1} et tout va bien.

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 18-02-21 à 14:13

Ok,j 'ai compris!
tout cela reste encore abstrait pour moi j'ai encore du mal..
On a donc vu que la symétrie axiale était donc cyclique donc
Pour la 7),Il existe donc bien une base de \mathbb{R}2(canonique par exemple) et 2 réels a et b (ici 1 et 0 en prenant l'exemple de la symétrie axiale) tels que la matrice de f dans la base canonique de  \mathbb{R}2 soit: \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
Est-ce bien ça?

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 18-02-21 à 14:23

Pour la 8),Supposons que dans 2 bases différentes, les matrices de f sont Aa,b et A\alpha,\beta.Alors, aId+bf=\alphaId+\betaf et là je ne sais pas comment aboutir à une absurdité..
Je n'ai toujours aucune idée pour la 9)..
Merci

Posté par
jeanseb
re : endomorphisme cyclique 18-02-21 à 15:11

j123456 @ 18-02-2021 à 14:13


Pour la 7),Il existe donc bien une base de \mathbb{R}2(canonique par exemple) et 2 réels a et b (ici 1 et 0 en prenant l'exemple de la symétrie axiale) tels que la matrice de f dans la base canonique de  \mathbb{R}2 soit: \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
Est-ce bien ça?


Aucune raison qu'elle soit canonique: Zormuche disait: Il y a autant de symétries qu'il y a de sev dans E

Plier une feuille de papier et décalquer un dessin "sur l'autre coté", c'est construire l'image du dessin par symétrie axiale, dont l'axe est le pli.
le sous espace vectoriel "axe" est l'ensemble des vecteurs colinéaires "au pli", droite vectorielle dirigée par un vecteur w. Il n'y a pas de raison quele w est un vecteur bissecteur de tout vecteur v et de son image f(v)par la symétrie (fais un dessin!).
donc soit v noté e1 quelconque non colinéaire à w et f(v)noté e2 son image par la symétrie axiale, (v,f(v))noté (e1,e2) est une base et
f(e1) = f(v) = e2
f(e2)=f(f(v)) = v car f est cyclique donc = e1

Posté par
jeanseb
re : endomorphisme cyclique 18-02-21 à 15:14

Elimine: "Il n'y a pas de raison que"

Conclus: donc dans la base e1,e2, on a bien la matrice recherchée.

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 18-02-21 à 15:32

Ok j'ai bien compris, j'ai repris ce que vous m'avez dit, mais pour montrer l'existence d'une base ne faut-il pas en exhiber une dans laquelle la matrice de la symétrie est celle recherchée? Même si je suis d'accord avec vous elle n'est absolument pas obligatoirement canonique.

Merci de votre aide

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 18-02-21 à 15:33

Sinon j'ai bien compris cette question et je l'ai rédigée

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 18-02-21 à 15:57

Ah non j'ai compris mon erreur dans cette question f est cyclique d'ordre n donc d'après les questions précédentes (e1,e2) est une base de E donc on connait déjà une base de E, pas besoin d'en exhiber une, on peut travailler directement avec (e1,e2).

Avez-vous une idée pour la 8)?

Merci

Posté par
jeanseb
re : endomorphisme cyclique 18-02-21 à 16:00

j123456 @ 18-02-2021 à 15:32

pour montrer l'existence d'une base ne faut-il pas en exhiber une dans laquelle la matrice de la symétrie est celle recherchée?

Si!
Pour cela , écris: "Soit w un vecteur directeur de la symétrie axiale"
et ensuite recopie les 3 dernières lignes de mon post de 15.11

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 19-02-21 à 09:28

Ok j'ai finalement repris ce que vous m'avez dit et je l'ai rédigé.
Je vais  essayer de faire les questions suivantes

Merci

Posté par
j123456
re : endomorphisme cyclique 20-02-21 à 13:46

Bonjour a tous,
Je me permets de reposter sur ce forum puisque je n'arrive toujours pas à faire les 2 questions restantes..

pour la 8), en reprenant ce que j'ai écrit plus haut, on obtient:
f2=\frac{\alpha-a}{\beta-b}f(id) ce qui ne correspond pas à la forme trouvée à f2 précédemment donc par l'absurde a=\alpha
et b=\beta.Je ne pense cependant pas que ce que j'ai obtenu est une absurdité.

Et pour la 9),
j'ai réussi à montrer que le réel a de la matrice de f valait forcément 1 lorsque n est pair et -1 lorsque n est impair
j'ai essayé alors de montrer qu'un endomorphisme était cyclique d'ordre 2 si et seulement si sa matrice était \begin{pmatrix}1&1\\0&b\end{pmatrix} avec b réel (on a montré précédemment que cette matrice était indépendant de la base choisie) mais cette condition n'est pas suffisante..
Idem pour ordre 3 sauf que a=-1.

Merci d'avance



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