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endomorphisme cyclique
Bonsoir, je bloque sur une partie d'un problème donc si quelqu'un pouvait m'éclairer, ça serait avec plaisir. (On vient de débuter l'algèbre linéaire donc j'ai un peu de mal..).
Soit E, un R espace vectoriel de dimension 2. Soit n≥2. On dit qu'un endomorphisme f de E est cyclique d'ordre n lorsqu'il existe n vecteurs e1,…,en de E vérifiant :
-(e1,...,en) est une famille génératrice de E,
-f(e1)=e2,...,f(en-1)=en, f(en)=e1 et
-∀p, 2≤p≤n, ep≠e1.
(Hormis pour la question 4, f∈L(E) et est cyclique d'ordre n.)
1) Montrer que si (e1,...,en) est un cycle pour f, la famille (e1,e2) est une base de E.
2) Montrer que:
- =id
- Pour tout k, 1≤k≤n−1, ≠id.
3) En déduire l'unicité de n tel que f soit cyclique d'ordre n.
4) Exhiber un endomorphisme f de E tel que f≠id et f2=id qui n'est pas cyclique.
1)J'ai réussi cette question.
2)On déduit de la question précédente que f((e1,e2))=(e2,e1) donc f((e1,e2)) est une base de E, f est donc un isomorphisme f est bijective mais comment justifier que ffn-1=id. Existe-il une autre solution plus simple?
3)J'ai réussi cette question .
4)Je n'ai aucune idée pour cette question, si quelqu'un pouvait me donner un coup de pouce pour savoir comment procéder ou me donner un exemple..
Merci beaucoup si vous prenez du temps pour répondre !
Bonsoir
Si (e_1, e_2) est une base, un endomorphisme f est entièrement déterminé par f(e_1) et f(e_2)
Ainsi, il suffit de vérifier que et
pour montrer que pour tout il suffit de trouver un vecteur particulier pour lequel c'est faux
Pour l'endomorphisme, voici une piste :
Déjà, il suffit de montrer que f n'est pas cyclique d'ordre 2. Car on sait déjà d'après la question précédente qu'un tel endomorphisme ne peut pas être cyclique d'un autre ordre que 2
Ensuite, si on part d'un vecteur quelconque , on aura
On voudrait que pour tout vecteur e_1, la famille (e_1,e_2) ne soit pas génératrice. Quelle est une condition simple pour qu'une famille de vecteurs ne soit pas génératrice en dimension 2 ?
Pour 1 :
Puisque E est de dimension 2 et que {e1 ,.....,en} engendre E il suffit de montrer (par exemple) que {e1 ,e2} est libre .
Ok merci pour vos réponses:
pour la 2 j'ai considéré le vecteur fk(en-k+1):
même si je n'arrive pas à trouver sa valeur je sais qu'il est différent de en-k+1.
Pour la 4),il suffit que les vecteurs soient colinéaires donc c'est à dire que je prends un multiple judicieux de e1, je pensais à f(e2)=-e1 mais dans ce cas f2id..
Et de plus j'ai une autre question:
si on souhaite exhiber l'endomorphisme par sa matrice, c'est ici sa matrice dans la base canonique de ?
Merci de votre aide!
si ce n'est pas précisé, tu représentes l'endomorphisme dans la base que tu veux. Tu peux aussi directement l'exprimer par l'expression de f(x), ou l'expression des vecteurs de la base que tu veux (ce qui revient au même que de donner sa matrice dans la base que tu veux)
en ce qui concerne la valeur de , appliquer
à un des vecteurs
donne le vecteur suivant
et a priori, l'énoncé ne dit pas que deux vecteurs quelconques de la famille sont distincts, on ne sait que qu'ils sont distincts chacun de e1... Peut-être qu'ils le sont, mais ça demande des démonstrations supplémentaires. Une récurrence immédiate donne que pour
ok pour la récurrence:
mais pour la 4), f2(e1)=-e1 et f2(e2)=-e2 donc f2id non ?
sinon, on aboutit a l'endomorphisme f défini par mat((1,0)(0,1))f=.
quel est l'endomorphisme auquel tu penses quand tu dis f(e_1) = -e_1 et f(e_2) = -e_2 ?
Es-tu sûr que f^2(e_2) = -e_2 ?
J'avais en plus 3 ou 4 questions où je bloquais vu que ce problème est relativement long. J'en profite donc pour vous demander de l'aide:
6)Quelle est la nature géométrique d'un endomorphisme d'ordre 2?
Le cycle d'un endomorphisme d'ordre 2 doit engendrer E, ici un espace vectoriel de dimension 2 donc un endomorphisme cyclique d'ordre 2 est une droite???
7)Démontrer qu'il existe 2 réels a et b et une base de E dans laquelle la matrice de f est :
Aa,b=.
On peut modifier la matrice de la question 5 mais est-ce que n'importe quelle base convient?
8)Montrer que f2=aId+bf. En déduire que si dans 2 bases différentes, les matrices de f sont Aa,b et A, alors a=
et b=
J'ai réussi la première partie. Pour la déduction, on obtient aId+bf=Id+
f mais je ne sais pas si il faut aboutir à une absurdité ou alors faire (a-
)Id+(b-
)f=0 et pouvoir conclure..
9)En résumant tout ce que vous venez de faire déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur a et b pour que f soit cyclique d'ordre 2 puis d'ordre 3.
Je ne sais pas comment procéder pour cette question.
Merci beaucoup si vous prenez du temps pour répondre!
je pense a l'endomorphisme défini par f=-id ,
Si on prend f(e1)=e2 et f(e2)=-e1,
f2(e2)=f(f(e2)) or f(e2)=-e1 donc
f2(e2)=f(-e1) or f(-e1)=-e2 donc
f2(e2)=-e2
J'avoue que je ne comprends pas mon erreur ici
Je pense que j'ai mal compris ce que vous avez dit:
pour la question 4, si f(e1)=e2 et f(e2)=e1, alors f2=id et f=id mais f est cyclique donc on ne répond pas à la question. Plus haut dans la conversation vous m'avez dit de prendre un vecteur e2 tel que f(e1)=e2 et d'ensuite trouver un 2 ème vecteur tel que pour un espace vectoriel de dimension 2, e1 et e2 ne soient pas colinéaires.
Et plus haut vous m'avez mis:
Citation :
je pensais à f(e2)=-e1 mais dans ce cas f2
tu es sûr ?
donc je pensais être sur la bonne voie
Si j'ai bien compris, pour que (e1,e2) ne soit pas génératrice, il faut, en dimension 2 que e1 et e2 soient colinéaires donc à partir de là je ne sais pas comment trouver f(e2)
Oui je me suis trompé, je ne voulais pas dire cyclique, mais plutôt le fait que f^2=id
Reprenons plus simplement
tu as proposé f=-id, je te dis que cet endomorphisme convient en effet
Il suffit de vérifier les propriétés
la première est triviale
la deuxième, tu as l'air d'avoir du mal alors qu'elle est très simple. Si x est un vecteur quelconque, que vaut f^2(x) ?
la troisième, c'est l'histoire de vecteurs colinéaires. Pour tout vecteur e_1, en posant e_2=f(e_1), on veut que (e_1,e_2) soit une famille liée. Est-ce bien le cas ?
ah d'accord !
je pensais plus haut qu'on parlait de l'endomorphisme défini par f(e1)=e2 et f(e2)=-e1, j'avais confondu:
il est en effet simple de voir que -id convient vérifie les 3 conditions
d'où mat((1,0),(0,1))f=.
Merci de votre aide !
J'abuse un petit peu mais auriez vous une idée pour les 4 questions supplémentaires sur lesquelles je bloque?
Merci beaucoup si vous y passez du temps et bonne soirée!
c'est pas un abus puisque c'est le même exercice et on peut se tutoyer, je suis étudiant comme toi certainement
6) On a vu qu'un endomorphisme cyclique d'ordre 2 vérifiait entre autres . Ca ne te rappelle pas un certain type d'endomorphisme ?
Ok merci!
Oui je suis en prépa mpsi, et si je ne suis pas indiscret quel est ton niveau d'étude?
C'est une symétrie donc on peut penser à la matrice d'une symétrie qui pourrait convenir mais il faudrait qu'elle soit en plus cyclique et là je ne sais pas comment procéder..
Je suis en M1, comme c'est écrit (partiellement) sur mon profil
Oui, une symétrie, par rapport à un sev de E.
Quelles sont les symétries en dimension 2 ? Lesquelles sont cycliques ?
ok! Oui, je n'avais même pas fait attention qu'on pouvait voir les profils..
Il y a entre autres la symétrie centrale qui est cyclique, mais la matrice d'une symétrie a toujours des 1 sur sa diagonale non?
Il y a autant de symétries qu'il y a de sev dans E
La symétrie centrale est la symétrie associée au sev {0}
Les symétries axiales pour les sev de dim 1
L'identité qui est la symétrie par rapport à E lui-même
Lesquels sont cycliques?
Tu es sûr pour la symétrie centrale ? Peut-être que tu peux la réécrire autrement. C'est quoi une symétrie centrale d'un vecteur x ?
Ah oui une symétrie axiale est une homothétie de rapport -1 ou une rotation de pi radians donc elle n'est pas cyclique, je ne saurai pas décrire une symétrie pour un vecteur x quelconque.
Je pense donc que l'identité est ici cyclique
oui c'est vrai que je contredis ce que je dis avant..
Par déduction ce sont les symétries axiales qui sont cycliques non?
on prend un vecteur x dans une base de 2 et on lui applique la définition d'une symétrie axiale pour un vecteur quelconque mais je ne vois pas ce que ça pourrait être, j'ai encore du mal à me représenter les choses.
On a bien f différent de id, et f^2=id. Il suffit de vérifier qu'on a bien un cycle, c'est-à-dire qu'il existe e1 et e2 tels que f(e1)=e2, f(e2)=e1 et la famille (e1,e2) est libre
Bonsoir
Ah oui une symétrie axiale est une homothétie de rapport -1 ou une rotation de pi radians
C'est inexact: c'est une symétrie centrale qui est une homothétie de rapport -1 : f(e1) = -e1 et f(e2)= - e2
matrice
donc pour tout v, f(v)= -v =-1.v
symétrie axiale de direction le vecteur e1 : soit e2 un vecteur orthogonal non nul f(e1) = e1 et f(e2)= - e2
matrice
Ce n'est pas une rotation car le déterminant vaut -1
oui merci jeanseb pour les indications et oui j'ai inversé les 2 symétries..
Je ne comprends pas zormuche:
jeanseb me dit qu'une symétrie axiale de direction e1 est définie par f(e1)=e1 et f(e2)=-e2 donc si f(e1)=e2 et f(e2)=e1 alors, e2=e1 et -e2=e1 ce qui est absurde et de plus (e1,e2) ne sera ici jamais libre.
Comment trouver ici une base?
Attention! je t'ai donné UN exemple de symétrie axiale, celle d'axe e1.
Celle de Zormuche est la symétrie axiale qui échange e1 et e2, donc d'axe "la direction bissectrice de e1 et e2"
l'image de {e1,e2} est {e2, e1} et tout va bien.
Ok,j 'ai compris!
tout cela reste encore abstrait pour moi j'ai encore du mal..
On a donc vu que la symétrie axiale était donc cyclique donc
Pour la 7),Il existe donc bien une base de 2(canonique par exemple) et 2 réels a et b (ici 1 et 0 en prenant l'exemple de la symétrie axiale) tels que la matrice de f dans la base canonique de
2 soit:
Est-ce bien ça?
Pour la 8),Supposons que dans 2 bases différentes, les matrices de f sont Aa,b et A.Alors, aId+bf=
et là je ne sais pas comment aboutir à une absurdité..
Je n'ai toujours aucune idée pour la 9)..
Merci
Pour la 7),Il existe donc bien une base de
Est-ce bien ça?
Aucune raison qu'elle soit canonique: Zormuche disait: Il y a autant de symétries qu'il y a de sev dans E
Plier une feuille de papier et décalquer un dessin "sur l'autre coté", c'est construire l'image du dessin par symétrie axiale, dont l'axe est le pli.
le sous espace vectoriel "axe" est l'ensemble des vecteurs colinéaires "au pli", droite vectorielle dirigée par un vecteur w. Il n'y a pas de raison quele w est un vecteur bissecteur de tout vecteur v et de son image f(v)par la symétrie (fais un dessin!).
donc soit v noté e1 quelconque non colinéaire à w et f(v)noté e2 son image par la symétrie axiale, (v,f(v))noté (e1,e2) est une base et
f(e1) = f(v) = e2
f(e2)=f(f(v)) = v car f est cyclique donc = e1
Elimine: "Il n'y a pas de raison que"
Conclus: donc dans la base e1,e2, on a bien la matrice recherchée.
Ok j'ai bien compris, j'ai repris ce que vous m'avez dit, mais pour montrer l'existence d'une base ne faut-il pas en exhiber une dans laquelle la matrice de la symétrie est celle recherchée? Même si je suis d'accord avec vous elle n'est absolument pas obligatoirement canonique.
Merci de votre aide
Ah non j'ai compris mon erreur dans cette question f est cyclique d'ordre n donc d'après les questions précédentes (e1,e2) est une base de E donc on connait déjà une base de E, pas besoin d'en exhiber une, on peut travailler directement avec (e1,e2).
Avez-vous une idée pour la 8)?
Merci
pour montrer l'existence d'une base ne faut-il pas en exhiber une dans laquelle la matrice de la symétrie est celle recherchée?
Si!
Pour cela , écris: "Soit w un vecteur directeur de la symétrie axiale"
et ensuite recopie les 3 dernières lignes de mon post de 15.11
Ok j'ai finalement repris ce que vous m'avez dit et je l'ai rédigé.
Je vais essayer de faire les questions suivantes
Merci
Bonjour a tous,
Je me permets de reposter sur ce forum puisque je n'arrive toujours pas à faire les 2 questions restantes..
pour la 8), en reprenant ce que j'ai écrit plus haut, on obtient:
f2= ce qui ne correspond pas à la forme trouvée à f2 précédemment donc par l'absurde a=
et b=.Je ne pense cependant pas que ce que j'ai obtenu est une absurdité.
Et pour la 9),
j'ai réussi à montrer que le réel a de la matrice de f valait forcément 1 lorsque n est pair et -1 lorsque n est impair
j'ai essayé alors de montrer qu'un endomorphisme était cyclique d'ordre 2 si et seulement si sa matrice était avec b réel (on a montré précédemment que cette matrice était indépendant de la base choisie) mais cette condition n'est pas suffisante..
Idem pour ordre 3 sauf que a=-1.
Merci d'avance
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